一、对象与类

    如果有人对你说“一个苹果”，你就会想到那种苹果特有的形状，酸酸甜甜的等苹果的一般特性。如果你去买苹果，你就会挑每个苹果有无破损，色泽看起来好不好等个体的特性。“苹果”是类，特定的“一个苹果”是对象。

二、集合初步

    如果有两个萝，一个只装有苹果，另一个装有苹果、雪梨、李子、香蕉等，我们会说：第一个是一萝苹果；第二个是一萝水果。为什么不说两萝水果呢？显然是为了说得更准确。苹果和水果都是类，水果是大类，苹果是小类，水果包括苹果。第一个萝中只有属于苹果的对象，是一个苹果的集合；第二个萝是各种属于水果的对象，是一个水果的集合。因此我们可以认为，集合是属于同一类的对象的集体。

三、数集

    0、1、2、3、4、……这些数我们都知道它们都是自然数，根据集合的概念，就可以叫做自然数集合，简称自然数集或自然数。

    我们创造数这个东西，目的就是为了计算，首先是+-×÷四则运算，我们马上就是发现，自然数+或×的结果都是自然数，意思就是在自然数集中总能找到一个自然数与结果相同；但自然数-或÷的结果不一定是自然数（例如1-2、1÷2），意思就是在自然数集中不一定能找到一个自然数与结果相同。自然数的+和×运算具有封闭性；但-或÷运算不具有封闭性。

    找到或定义新的数来“丰富”自然数成了迫切的需求，在减法运算中，与自然数相反的数——负数很自然的诞生了。1-2行不通，就把算式倒过来，在结果前加一个相反号——负号（-）就成了负数（-1）。所有自然数都有相反数，0的相反数是0本身。

    用自然数的相反数“丰富”自然数，把自然数这个集合撑大了就成了整数集合，简称整数集或者整数。显然整数继承了自然数的+和×运算封闭性，又增加了-运算封闭性。四则运算中就剩÷运算没有封闭性了。

    三个人分一个大饼，1÷3在整数集中找不到一个数与它的结果相等，难不倒聪明的人类，人们创造了整数集合外的数——分数。1÷3无法算，就干脆不算，把被除数写在上面，除数写在下面，÷号（去掉两点后）写中间就成了分数（1/3）。分数有真分数、假分数和带分数，最重要的是真分数。

    用分数去撑大整数这个集合，这样一个包括整数和分数的数集，就具有四则运算的封闭性，人们可以放心地进行四则运算。这样一个数集的形成大大推动了人类文明的发展，为科学的萌芽提供了数学基础。

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