上一课中讲到，无理数表示不可公度比，那把表示可公度比的整数和分数统称为有理数就顺理成章了。也就是说有理数的得名是由于无理数的出现导致的。有理数和无理数相对；可公度比和不可公度比相对。

    在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（number axis），它满足以下要求：

    （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；

    （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

    （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左；用类似方法依次表示-1，-2，-3，…（图1）

图1

    分数或小数也可以用数轴上的点表示，例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5，从原点向左3/2个单位长度的点表示分数-3/2（图1）。

     所以，每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来。

图2

    从图2中可以看出，OO’的长是这个圆的周长π，所以点O’对应的数是π。这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来。

图3

    又如，以单位长度为边长画一个正方形（图3），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示√2，与负半轴的交点就表示-√2。

    上面的例子说明数轴上除了有理数，还有很多“漏洞”，因为有理数不包括无限位不循环小数。无限位不循环小数就是无理数，所以无理数把数轴上的这些“漏洞”全部补上了。

    在数轴上取一点，这一点到原点的距离必然是整数、有限位小数、无限位循环小数或无限位不循环小数（数轴上的数全枚举了）之中的一种。这个说明有理数（整数、有限位小数、无限位循环小数）和无理数（无限位不循环小数）都是实实在在的存在的，因此我们把有理数和无理数统称为实数。

    实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数的提出，为用代数的方法研究几何（解析几何）提供了必要的条件。

    注意了，从现在起，我们说的“数”就是指“实数”。下面图4是实数的思维导图：

图4

练习题：把图4中的实数思维导图用语言描述出来。

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