套娃，即俄罗斯套娃（俄语：матрёшка），是俄罗斯特产的木制玩具，一般由多个一样图案的空心木娃娃一个套一个组成，最多可达十多个，通常为圆柱形，底部平坦可以直立。这里把一些相似的多项式聚在一起形成的多项式叫“套娃多项式”，这种多项式往往由非常特别的性质，下面举一个例子说一说：

    已知a=0.5，求下面无穷“套娃多项式”

a+a²+a³+……

的值。

    不难发现，多项式中后一项是前一项的一半，如此“套娃”，直到无穷。从数学的角度来看，这是一个无穷个项的等比数列和，它的和是一个确定的数还是不确定的数或无穷大呢？

    由于最大的“娃娃”是0.5，因此套在0.5里的“娃娃”虽然是无穷多个，但由于是套在0.5里的，和绝对不会超过0.5，0.5+0.5=1，多项式的和是1。请看下面的证明：

设x=a+a²+a³+……，

则x=a(1+a+a²+a³+……)，

x=a(1+x)，

(1-a)x=a，

x=a/(1-a)，

x=0.5/(1-0.5)=1。

  无穷“套娃多项式”化简的一般方法：把 无穷“套娃多项式”设为一个未知数，然后多项式中变换出一个含这个未知数的有限多项式，解方程，即得这个无穷“套娃多项式”的化简式。

练习：

1、用上例的方法化简多项式

ab+ab²+ab³+......

并根据下面的取值计算多项值：

（1）已知a=2，b=1/3，

（2）已知a=9，b=1/10，

（3）已知a=15，b=1/16，

（4）已知a=7，b=1/8。

的值。你能总结出什么规律吗？请证明您总结的规律。

2、利用平方差公式计算

多项式的值。

3、分数18/97和79/97化成循环小数，猜一猜两个循环小数的小数点后第100位的数字之和是多少？请证明你的猜想。

Python实习：

    用学过的Python知识，编写程序计算上面第3小题。

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