上一节课说到，万事万物都在变化，其中某些变化的量之间具有函数关系。那科学家是如何发现这些函数关系的呢？

　　第一步、把事物分为对象。一个对象与该对象之外有可辨分界。例如，在一个鱼缸中装有水，在水中有五条鱼游动，支架是个对象，鱼缸是一个对象，水也是一个对象，水上面的空气也是个对象，五条鱼是五个对象。

　　第二步、划分系统。系统内的对象紧密联系在一起，互相影响。上例中的支架、鱼缸、水、空气和五条鱼就构成了一个系统。

　　第三步、提出问题。有了系统之后，就可以针对这个系统提出要解决的问题。例如针对这个鱼缸系统，提出：如何使这五条鱼更加活跃？

　　第四步、提取因子。所谓提取因子就是找出系统中的对象与问题有关联的属性。鱼缸系统中除了水，其它对象的影响可以忽略。那么水的什么属性（因子）能影响鱼的活跃程度呢？这是一个科学问题了，科学家们懂的。这里只是为了说明数学问题，假设其他情况不变，与水的温度和溶解氧浓度（溶解在水中氧气的浓度）这两个属性（因子）有关。

　　第五步、建立和简化模型。模型与系统不同，模型中会忽略系统中对象的其他属性，认为对象是被研究的属性（因子）的化身，这样就可以用数学方法去解决实际的问题。所以，鱼的活跃度、水温和溶解氧就构成了我们要研究的模型。从数学角度来说，就要找出鱼的活跃度与水温及溶解氧的函数关系。

　　第六步、实验设计。首先，量化指标。水温和溶解氧都有实际的量化指标，但活跃程度没有，这样就要为活跃程度指定一个量化指标(我不懂，科学家们懂。)。然后，做出实验方案。由于本例因子超过1个，一般采用正交实验方案。本文为了说明数学问题，采用一般实验方案，就是保持其他因子不变，改变一个因子，看结果如何。这个例子就是保持溶解氧浓度不变，测定水温对鱼活跃程度的影响；保持水温不变，测定溶解氧浓度对鱼活跃程度的影响。最后，组装实验系统。这个例子需要溶解氧调节装备、水温控制装备等一些装备。

　　第七步、进行实验，收集数据。如何进行实验是一个科学问题，那是科学家们的拿手好戏。从数学的角度来说，这是函数的初级阶段——表格，就是用表格的形式表达量的函数关系。假设得到下面的数据（非真实数据）：

表1 溶解氧(7mg/L)水温对鱼活跃度的影响

表2 水温(18°C)溶解氧对鱼活跃度的影响

　　第八步、图示实验数据。通过看数据表，很难发现什么规律，画成图表更能体现数据中隐藏的规律。从数学的角度来说，这是函数的中级阶段——函数的图象。一般地，对于一个函数（一元），如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。上两表打点图如下（作图代码附录1）：

　　第九步、拟合函数图。所谓拟合函数图，就是用已知的函数图与实验得到的函数图进行对比，找出吻合已知的函数图，从而得到函数解析式——函数的高级阶段。下图把上面的打点图拟合成函数图（增加的代码附录2）。

由程序计算结果得到：

水温-活跃度函数解析式：y=10-0.102(x-18)²；

溶解氧-活跃度函数解析式：y=1.43x。

　　科学家们做的事并不神秘，一个初中生也可以进行科学研究。他们通过实验得到函数的初级阶段——表格，然后通过数据处理得到函数的中级阶段——图象，和高级阶段——解析式。表格、图象和解析式都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法。具体采用什么方法，按要求或具体问题具体分析。是不是所有的具体函数都可以用三种不同的方法表示呢？

　　具体的函数，因为每个对应都是一组具体的数，原则上都可以用表格法表示。至于图象法和解析法情况就不一样。

　　下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。

但要拟合出解析式几乎不可能，也没有必要。

　　现有一个函数解析式p=x+2y+3z，能否用图象法表示呢？由于每个对应都是4个数的元组，我们的视觉最多能辨别3维空间，那第四个数就无法在图中了。所以只有不超过2个自变量的函数才能使用图象法。

　　表示函数的三个方法，只是函数的外在表现，函数内在的意义是刻画变量之间对应关系的数学模型。我们要掌握函数外在的方法，也要认识函数内在的意义，更要具有函数的思想，象科学家那样用函数的思想解决问题。

附录1：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,800)
t.screensize(350,650)
t.up()
build(t,wc=(-20,-20,330,630))
'''
表1 溶解氧(7mg/L)水温对鱼活跃度的影响
序号    水温（°C）    活跃度（假设单位是A)
'''
da=[]
da.append((1,10,3.47))
da.append((2,11,5.01))
da.append((3,12,6.33))
da.append((4,13,7.44))
da.append((5,14,8.37))
da.append((6,15,9.09))
da.append((7,16,9.59))
da.append((8,17,9.89))
da.append((9,18,10.00))
da.append((10,19,9.91))
da.append((11,20,9.59))
da.append((12,21,9.07))
da.append((13,22,8.37))
da.append((14,23,7.44))
da.append((15,24,6.33))
da.append((16,25,5.01))
t.pencolor("red")
for d in da:
    t.setpos(d[0]*20,(d[2]-3)*50)
    t.dot("red")
    t.write("(%s, %s)" % (str(d[1]), str(d[2])),move=False)
t.seth(-90)
t.fd(30)
t.write("水温--活跃度");
    
'''
表2 水温(18°C)溶解氧对鱼活跃度的影响
序号,溶解氧（mg/L）,活跃度（假设单位是A)
'''
db=[]
db.append((1,4.5,6.43))
db.append((2,4.8,6.87))
db.append((3,5.1,7.28))
db.append((4,5.4,7.70))
db.append((5,5.7,8.14))
db.append((6,6.0,8.58))
db.append((7,6.3,9.00))
db.append((8,6.6,9.42))
db.append((9,6.9,9.86))
db.append((10,7.2,10.29))
db.append((11,7.5,10.71))
db.append((12,7.8,11.13))
db.append((13,8.1,11.57))
db.append((14,8.4,12.00))
db.append((15,8.7,12.43))
db.append((16,9.0,12.86))
t.pencolor("blue")
for d in db:
    t.setpos(d[0]*20,(d[2]-1)*50)
    t.dot("blue")
    t.write("(%s, %s)" % (str(d[1]), str(d[2])),move=False)
t.fd(30)
t.write("溶解氧--活跃度");    
t.ht()

附录2：

'''
拟合函数图
温度-活跃度图
18°C时最大10，抛物线可知函数是y=10-a(x-18)²
通过其它点算出a=(10-y)/(x-18)²的平均值即可。
溶解氧--活跃度
直线，一次函数图，函数是y=bx+c
算出平均点，然后用平均点与不相邻点算出b,c平均值即可。
'''
from fractions import Fraction
a=Fraction(0)
for i in range(16):
    if i!=8:
        a+=(10-Fraction(str(da[i][2])))/(da[i][1]-18)**2
a/=15
print("y=10-%f(x-18)²" % float(a))
def fa(x):
    return (10-a*(x+9-18)**2-3)*100/2/20
t.pencolor("black")
trace(t,1,16,fa)

b, c = Fraction(0), Fraction(0)
sx, sy  = Fraction(0), Fraction(0)
for i in range(16):
    sx+=db[i][1]
    sy+=db[i][2]
sx/=16
sy/=16
num=0
for i in range(16):
    if abs(sx-db[i][1])>=0.3:
        num+=1
        tb=(sy-Fraction(str(db[i][2])))/(sx-Fraction(str(db[i][1])))
        b+=tb
        c+=sy-tb*sx
b/=num
c/=num
print("y=%sx+%s" % (str(b),str(c)))
def fb(x):
    return (b*(4.5+0.3*(x-1)) +c-1)*100/2/20
t.pencolor("green")
trace(t,1,16,fb)

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