二元一次函数就是2个自变量的函数，从最简单的二元一次函数

z=x+y

开始，探索二元一次函数的秘密。

　　在平面坐标系中画y=x直线作为y轴，原来的y轴变为z轴，这样就成了立体直角坐标系。把空间中的点转为平面中的点方法：x坐标不变，y坐标除以根号2再加z坐标。作图如下图（虚线在x,y平面之下，绿色线在x,y平面中，实线在x,y平面之上），作图代码见附录1：

从图中可以看到，二元一次函数的图象是立体直角坐标系中的一个平面。

　　也许好奇的同学会想，三元一次函数的图象又是什么样子呢？很遗憾，因为我们的视觉最多是三维空间，三元一次函数的图象每个点(x,y,z,p)都有四个分量，是四维空间中的图象，没办法展示了，只能靠想象。由于一元一次函数是一条直线，我们把一次函数叫做线性函数，把一次方程叫做线性方程，把一次方程组叫做线性方程组。

　　现在我们讨论下面两个二元一次函数

z=x+y+5、

z=x+y-5

的关系。未知数和系数都相同，只是常数项不同。对于z=x+y-5平面上的一点(x,y,z)，z=x+y+5平面上有而且只有一点(x,y,z+10)和它对应，反之亦然。因此这两个平面没有公共点，平行了。作图验证，作图代码附录2：

绿色线为x,y平面上的线，可见两个平面平行。

　　把这两个函数看作三元一次方程

x+y-z=-5，

x+y-z=5，

就成了方程组，类比二元一次方程组可得：未知数的系数比全等，如果常数为0或比也相等，是同一条方程，如果常数不为0且比不相等，方程的对应平面平行，含这两条方程的方程组无解。

　　例题1：判断下面三元一次方程组有无解：

x+2y+3z=7，  ①

3x+2y+z=13，  ②

x+y+z=9。   ③

解：①+②，得

4x+4y+4z=20，

x+y+z=5。   ④

可见③与④的未知数的系数比相等，但常数比不相等，③与④是两个平行的平面，所以原方程组无解。

　　三元一次方程组（三条方程）中，如果存在1条方程或2条方程通过加减法构造出1条方程，这条方程与另一条方程未知数系数比全等，但常数不为零且比不相等，原方程组无解；若常数为0或比也相等，则原方程组可能有无数解。事实上，这个规则在所有的线性方程组中适用。

　　例题2：解下面三元一次方程组

x+y+z=12，　　　　①

x+2y+5z=22，　　　②

　x=4y。　　　　　③

分析：我们已经学过二元一次方程组的解法，只要能把三元一次方程组转化为二元一次方程组，问题就解决了。

解：把③代入①②，得

5y+z=12，　　　　④

6y+5z=22。　　　⑤

④×5－⑤，得

19y=38，

y=2。

把y=2代入④，得

z=2。

把y=2代入③，得

x=8。

因此这个三元一次方程组的解是

x=8，

y=2，

z=2。

　　三元或更高元的方程组的解法就两个字：转化。用代入消元法或加减消元法降低方程组的元数，直到是一元一次方程，然后反向代入数值得到方程组的解。

练习题：判断下面方程组有无数解、无解或有唯一解，有唯一解的请把它解出来。

（１）

x+2y-4z=11，　①

2x+4y=8z+5，　②

3x+4y=16。　　③

（2）

x-3y+5z=23，　①

2x-y=5z+5，　②

3x-4y=14。　　③

（3）

2x+4y+3z=9，　①

3x-2y+5z=11，　②

5x-6y+7z=13。　　③

（4）

x：y=3：2，　①

y：z=5：4，　②

x+y+z=66。　　③

（5）

4x-9z=10，　①

2x-y+5z=5，　②

6x-y-4z=15。　　③

（6）

x+y-z=11，　①

x-y+z=3，　②

-x+y+z=4。　　③

（7）

x+3y-5z=5，　①

x-2y+4z=7，　②

4x+2y-2z=24。　　③

附录1：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
t.clear()
t.setpos(-200,0)
t.seth(0)
t.shape("classic")
t.down()
t.fd(400)
t.stamp()
t.up()
t.sety(-20)
t.write("x",align="right")
t.setpos(-200/2**0.5,-200/2**0.5)
t.seth(45)
t.down()
t.fd(400)
t.stamp()
t.up()
t.sety(200/2**0.5-20)
t.write("y",align="right")
t.setpos(0,-200)
t.seth(90)
t.down()
t.fd(400)
t.stamp()
t.up()
t.setpos(-5,190)
t.write("z",align="right")
z=0
def f(x):    
    return (z-x)/2**0.5+z  
#y=z-x
t.pencolor("green")
trace(t,-6,6,f)
t.pencolor("blue")
for i in range(-6,0):
    z=i
    trace(t,-6,-5,f)
    trace(t,-4,-3,f)
    trace(t,-2,-1,f)
    trace(t,0,1,f)
    trace(t,2,3,f)
    trace(t,4,5,f)
    trace(t,5.9,6,f)
z=-4
t.setpos(-2*20,20*f(-2))
t.dot()
t.setx(-35)
t.write("(-2, -2, -4)")
t.pencolor("red")
for i in range(1,6):
    z=i
    trace(t,-6,6,f)
z=4
t.setpos(2*20,20*f(2))
t.dot()
t.setx(45)
t.write("(2, 2, 4)")
t.ht()

附录2：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
t.clear()
t.setpos(-200,0)
t.seth(0)
t.shape("classic")
t.down()
t.fd(400)
t.stamp()
t.up()
t.sety(-20)
t.write("x",align="right")
t.setpos(-200/2**0.5,-200/2**0.5)
t.seth(45)
t.down()
t.fd(400)
t.stamp()
t.up()
t.sety(200/2**0.5-20)
t.write("y",align="right")
t.setpos(0,-200)
t.seth(90)
t.down()
t.fd(400)
t.stamp()
t.up()
t.setpos(-5,190)
t.write("z",align="right")
z=0
b=5
def f(x):    
    return (z-x-b)/2**0.5+z  
#y=z-x-5
t.pencolor("green")
trace(t,-10,-1,f)
t.pencolor("blue")
for i in range(-10,0):
    z=i
    j=-10
    while j<-1:
        trace(t,j,j+1,f)
        j+=2
t.pencolor("red")
z=1
Y=20*f(-2)
X=-2*20
t.setpos(X,Y)
t.dot()
t.sety(Y-20)
t.write("(-2, -2, 1)   z=x+y+5", align="right")
for i in range(1,10):
    z=i
    trace(t,-10,-1,f)
#y=z-x+5
z=0
b=-5
t.pencolor("green")
trace(t,1,10,f)
t.pencolor("blue")
for i in range(-10,0):
    z=i
    j=1
    while j<10:
        trace(t,j,j+1,f)
        j+=2
z=-1
t.setpos(2*20,20*f(2))
t.dot()
t.setx(45)
t.write("(2, 2, -1)   z=x+y-5")
t.pencolor("red")
for i in range(1,10):
    z=i
    trace(t,1,10,f)
t.ht()