方程就是知道函数值反推满足条件的自变量值。一元二次方程就是知道一元二次函数的值，求满足条件的自变量的值。如果函数值是0，就成了一元二次方程的一般形式
ax²+bx+c=0 （a≠0)。
例题1：判断下面一元二次方程有两个不同的实数解、只有一个实数解（两个相同的实数解）和无实数解。
（１）－x²＋2x-1=0，
（２）x²+x+1=0，
（３）13x²＋78x-50=0，
解：通过一元二次函数来判断
（１）
y=－x²＋2x-1，
y=－(x²-2x+1)，
y=-(x-1)²，
可见函数的值≤0，方程－x²＋2x-1=0只有一个实数解。
（２）
y=x²+x+1，
y=x²+x+(1/4)-(1/4)+1，
y=(x+1/2)²+(3/4)，
可见函数的值≥(3/4)，方程x²+x+1=0无实数解。
（３）
y=13x²＋78x-50，
y=13(x²+6x)-50，
y=13(x²+6x+9-9)-50，
y=13(x+3)²-13×9-50，
y=13(x+3)²-167，
可见函数的值≥-167，方程13x²＋78x-50=0两个不同的实数解。
我们知道方程
x²=c (c≥0)
的解是c的算术平方根和它的相反数，只要把一般的方程通过上例的方法配方成
a(x+b)²-c=0
的形式，就可以解方程了。这就是解方程的配方法。配方法是解一元二次方程的最基本方法，一定要掌握。
例题2：解下面方程
x²＋6x+2|x+3|-6=0。
分析：方程中含有绝对值，首先把方程拆分为２个不含绝对值的方程，明确定义域。
解：拆分定义域，取消绝对值运算
（１）当x<-3，得
x²＋6x-2(x+3)-6=0，
x²＋4x-12=0，
x²＋4x+4-16=0，
(x+2)²-16=0，
解得
x1=-6和x2=2，
由于x<-3，所以只要x1是解；
（２）当x≥-3，得
x²＋6x+2(x+3)-6=0，
x²＋8x=0，
x²＋8x+16-16=0，
(x+4)²-16=0，
解得
x1=-8和x2=0，
由于x≥-3，所以只要x2是解；
综合两个步骤得原方程的解是
x1=-6和x2=0。
根据函数
y=x²＋6x+2|x+3|-6
很难想象出函数图象是什么样子的，它真的与x轴交于(-6,0)和(0,0)点吗？作图验证如下，作图代码附录1。
把配方法应用到一般一元二次方程
ax²+bx+c=0 （a≠0)
a[x²+(b,a)x]+c=0
a[x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²]+c=0
[x+(b/2a)]²-(b/2a)²+(c/a)=0
[x+(b/2a)]²=(b/2a)²-(c/a)
[x+(b/2a)]²=(b²-4ac)/(2a)²
x=-(b/2a)±[sqrt(b²-4ac)/2a]
x=[-b±sqrt(b²-4ac)]/2a
就是一元二次方程的解公式。
由于sqrt(b²-4ac)运算（算术平方根运行）需要底数不小于0，得到一元二次方程有实数解的充分必要条件
b²-4ac≥0，
当b²-4ac>0时有2个不同的实数解；当b²-4ac=0时有2个相同的实数解（即只有1个实数解）。
我们知道，2个一元一次多项式相乘，可以得到一个一元二次多项式，反过来，如果能把一个一元二次多项式拆分为2个一元一次多项式相乘，应用到解一元二次方程中，不就可以解了。这就是解一元二次方程因式分解法。
因式分解法不适合所有的一元二次方程（事实上，只有b²-4ac是1个平方数时，才能使用因式分解法。），除非能轻而易举地分解因式，否则不要使用。
例题3：下面方程的解都是有理数，尝试用因式分解法解方程
6x²＋47x+91=0。
解：
6=2×3，
91＝7×13，
3×7=21，
2×13=26，
21+26=47，
所以，因式分解后方程是
(3x+13)(2x+7)=0
得方程的解是
x1=-13/3，x2=-7/2。
由上例可得到因式分解的要诀：二次系数和常数都分解为２个因数，交叉相乘的积的和等于一次项系数。
解一元二次方程有多种方法，殊路同归，不管用哪种方法，结果都是一样的。因此，如果一元二次方程
ax²+bx+c=0 （a≠0) ①
的两个解是x1、x2，则由因式分解法一定可以把方程因式分解为
(x-x1)(x-x2)=0，
x²-x*x2-x1*x+x1*x2=0，
x²-(x1+x2)*x+x1*x2=0。②
把①等式两边同时除以a得
x²+(b/a)x+(c/a)=0 （a≠0) 。 ③
对比②和③得到一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的2个根与系数的关系
x1+x2=-b/a，
x1·x2=c/a。
例题4：方程
x²-bx-c=0
有2个解是x1=3和x2=7，求方程中的系数b和c。
解：由根与系数的关系得
-(-b)=3+7，
b=10；
-c=3×7，
c=-21。
使用根与系数关系公式时，一定要注意正负号。
练习题1：用b²-4ac的正负及0与方程的解的关系，验证例题1。
练习题2：解下面方程
x²-4x+6|x-2|+13=0。
练习题3：下面方程的解都是有理数，尝试用因式分解法解方程
14x²-13x-51=0。
练习题4：方程
ax²+bx-40=0
有2个解是x1=-5和x2=4，求方程中的系数a和b。
附录1：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t, yUnt=(1,10))
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("y=x²＋6x+2|x+3|-6图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=x²＋6x+2|x+3|-6
t.pencolor("blue")
t.pensize(2)
def f(x):
return x**2+6*x+2*abs(x+3)-6
trace(t,-10,10,f)
t.ht()