假如P是含未知数的代数式，则
sqrt(P)≥0 (P≥0)，
只有P=0时，sqrt(P)=0。
平方根的底≥0，平方根的值≥0，只有平方根的底=0时，平方根的值=0。
例题1：解下面根式方程
sqrt(x-1)+sqrt(y-2)+sqrt(z-3)=0。
解：因为
sqrt(x-1)≥0，
sqrt(y-2)≥0，
sqrt(z-3)≥0，
sqrt(x-1)+sqrt(y-2)+sqrt(z-3)=0，
所以
sqrt(x-1)=0，
sqrt(y-2)=0，
sqrt(z-3)=0。
得
x-1=0，
y-2=0，
z-3=0。
方程的解是
x=1，
y=2，
z=3。
平方根函数是单调函数，并且底数要不小于0 ，所以底数越大平方根越大。
例题2：解下面方程
sqrt(2x-1)-2=0。
分析：这种只出现一处根号，而且底数中有未知数，移项后平方可解。
解：移项
sqrt(2x-1)=2，
两边平方
2x-1=4，
得方程解
x=5/2。
例题3：解下面方程
sqrt(4x+1)-x-1=0。
解：移项
sqrt(4x+1)=x+1，
两边平方
4x+1=x²+2x+1，
x²-2x=0，
x(x-2)=0。
得
x1=0，x2=2。
两个解都使4x+1>0，原方程的解是
x1=0，x2=2。
作图验证如下，作图代码附录1。
不是所有这种方程都有解的，例如下面的方程
sqrt(2x-1)-x-1=0
无解，因为
sqrt(2x-1)=x+1，
2x-1=(x+1)²，
2x-1=x²+2x+1，
x²=-2不可能。
例题4：解下面方程
sqrt(1-x)+sqrt(1+x)=2。
分析1：这种有两处根号，底代数式通过加减法可以得到常数的根式方程，用换元法转化为方程组后解答。
解1：令m=sqrt(1-x)，n=sqrt(1+x)，则
m²＋n²＝1-x+1+x=2，①
m + n =2。 ②
把②转化为n=2-m代入①，得
m²＋(2-m)²=2，
2m²-4m+4-2=0，
m²-2m+1=0,
(m-1)²=0，
得
m=1，
即
sqrt(1-x)=1，
1-x=1，
原方程解是
x=0。
分析2：这种除了2个根号里有未知数外，别的地方没有未知数，只要把这2个带未知数的根号放在等式一边，平方后即可变为只有1个带未知数的根号，从而得解。
解2：方程两边平方，得
1-x+2sqrt(1-x²)+1+x=4，
sqrt(1-x²)=1，
1-x²=1。
得解
x=0。
作图验证如下，作图代码附录2。
例题5：解下面方程
sqrt(2x+5)+sqrt(3x-5)=10。
解1：令m=sqrt(2x+5)，n=sqrt(3x-5)，则
3m²-2n²=6x+15-6x+10=25， ①
n=10-m ②
把②代入①，得
3m²-2(10-m)²=25
m²+40m-200=25
(m+20)²=625
m=5
即
sqrt(2x+5)=5
2x+5=25
x=10
通过验证，得原方程解
x=10。
解2：方程两边平方
2x+5+2sqrt(6x²+5x-25)+3x-5=100
2sqrt(6x²+5x-25)=100-5x
24x²+20x-100=10000-1000x+25x²
x²-1020x+10100=0
(x-1010)(x-10)=0
得
x1=1010，x2=10
1010显然不适合，x=10代入方程验证得解
x=10。
作图验证如下，作图代码附录3。
练习题1：解下面根式方程
sqrt(x+2)+sqrt(2y+3)+sqrt(3z+4)=0。
练习题2：解下面方程
5-sqrt(3x+1)=0。
练习题3：解下面方程
sqrt(6x-3)-x-1=0。
练习题4：解下面方程
sqrt(6-2x)+sqrt(7+2x)=5。
练习题5：解下面方程
sqrt(2x+1)+sqrt(3x+4)=7。
附录1：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(4x+1)-x-1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(4x+1)-x-1
t.pencolor("red")
def f(x):
return (4*x+1)**.5-x-1
trace(t,-1/4,10,f)
t.ht()
附录2：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t,xUnt=(1,80),yUnt=(1,80))
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(1-x)+sqrt(1+x)-2图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(1-x)+sqrt(1+x)-2
t.pencolor("red")
def f(x):
return (1-x)**.5+(1+x)**.5-2
trace(t,-1,1,f)
t.ht()
附录3：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t,xUnt=(1,10),yUnt=(1,10))
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(2x+5)+sqrt(3x-5)-10图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(2x+5)+sqrt(3x-5)-10
t.pencolor("red")
def f(x):
return (2*x+5)**.5+(3*x-5)**.5-10
trace(t,5/3,20,f)
t.ht()