例题1：求解下面不等式

sqrt(6x+1)-x+1>0。

分析：只有1处含未知数的根号，把根号项独列在等号左边或右边，并且没有负号，把底不小于0作为一条不等式，不等号另一边小于0作为第二条不等式，解这两条不等式组成的不等式组得到部分解；等号另一边不小于0作为第三条不等式，移项后的不等式两边平方，不等号方向不变，作为第四条不等式，解由第三、四不等式组成的不等式组，得另一部分解；综合2部分解即得原不等式解。。

解：移项，得

sqrt(6x+1)>x-1。

解不等式组

6x+1≥0，　①

x-1<0。　　②

得

-1/6≤x<1。   

解不等式组

x-1≥0，　③

　　　6x+1>(x-1)²，　④　

6x+1>x²-2x+1，

x²-8x<0，

x(x-8)<0，

x<8。

得

1≤x<8     

综合2部分解，得原不等式的解

-1/6≤x<8。

　　作图验证如下，作图代码附录1。

　　例题2：求下面不等式的解

sqrt(x+2)-sqrt(x-2)>1。

分析：这种底是平行直线的平方根差是随底增大而减少的，开始值sqrt(2+2)-sqrt(2-2)=2，2>1，x+2和x-2都是随着x增大而增大，所以只要求出

sqrt(x+2)-sqrt(x-2)=1

的根就可以了。

解：方程

sqrt(x+2)-sqrt(x-2)=1

两边平方

x+2-2sqrt(x²-4)+x-2=1

2x-2sqrt(x²-4)=1

2x-1=2sqrt(x²-4)

(2x-1)²=4(x²-4)

4x²-4x+1=4x²-16

x=17/4

有x+2≥0和x-2≥0，得

x≥2。

原不等式解

2≤x<17/4。

　　作图验证如下，作图代码附录2。    

　　例题3：求下面不等式的解

2sqrt(x+2)+sqrt(2x+1)>5。

分析：这种有2个不小于0的增函数构成的函数

y=2sqrt(x+2)+sqrt(2x+1)

也是增函数，所以只要求出

2sqrt(x+2)+sqrt(2x+1)=5

的解就行了。

解：方程

2sqrt(x+2)+sqrt(2x+1)=5

两边平方，得

4(x+2)+4sqrt(2x²+5x+2)+(2x+1)=25，

4sqrt(2x²+5x+2)=16-6x，

2sqrt(2x²+5x+2)=8-3x。

两边平方，得

8x²+20x+8=64-48x+9x²，

x²-68x+56=0，

(x-34)²=34²-56=1100，

x1=34-10sqrt(11)，x2=34+10sqrt(11)。

都符合x≥-1/2的要求，取1个数

x1<34<x2，

2sqrt(34+2)+sqrt(68+1)>5。

所以原不等式的解是

x>34-10sqrt(11)。

　　作图验证如下，作图代码附录3。

　　例题4：n为正整数，求满足

(n+1)sqrt(n)-n·sqrt(n+1)>2

n的最小值。

分析：

左式=sqrt(n)·sqrt(n+1)[sqrt(n+1)-sqrt(n)]，

由于

sqrt(n+1)-sqrt(n)=1/[sqrt(n+1)+sqrt(n)]

得

左式=1/[1/sqrt(n+1)+1/sqrt(n)]

可见函数是增函数。

解：

左式=sqrt(n)·sqrt(n+1)[sqrt(n+1)-sqrt(n)]，

左式=sqrt(n)·sqrt(n+1)/[sqrt(n+1)+sqrt(n)]，

由于

2sqrt(n)<sqrt(n+1)+sqrt(n)<2sqrt(n+1)

所以

sqrt(n)/2<左式<sqrt(n+1)/2。

由

sqrt(n)/2=2，

得

n=16，

即，当n=16时，左式>2。由

sqrt(n+1)/2=2，

得

n=15，

即，当n=15时，左式<2。

所以n的最小值是16。

　　作图验证如下，作图代码附录4。

　　练习题1：求解下面不等式

sqrt(4x+1)-2x+1<0。

　　练习题2：求下面不等式的解

sqrt(2x+3)-sqrt(2x-3)<1。

　　练习题3：求下面不等式的解

3sqrt(x+1)+sqrt(3x+1)<10。

　　练习题4：n为正整数，求满足

(n+1)sqrt(n)-n·sqrt(n+1)<3

n的最大值。

附录1：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(6x+1)-x+1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(6x+1)-x+1
def f(x):
    temp=(6*x+1)**.5-x+1
    if temp>0:
        t.pencolor("red")
    else:
        t.pencolor("blue")
    return temp
trace(t,-1/6,10,f)
t.ht()

附录2：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(x+2)-sqrt(x-2)-1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(x+2)-sqrt(x-2)-1
def f(x):
    temp=(x+2)**.5-(x-2)**.5-1
    if temp>0:
        t.pencolor("red")
    else:
        t.pencolor("blue")
    return temp
trace(t,2,10,f)
t.ht()

附录3：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=2sqrt(x+2)+sqrt(2x+1)-5图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=2sqrt(x+2)+sqrt(2x+1)-5
def f(x):
    temp=2*(x+2)**.5+(2*x+1)**.5-5
    if temp>0:
        t.pencolor("red")
    else:
        t.pencolor("blue")
    return temp
trace(t,-1/2,10,f)
t.ht()

附录4：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t,yUnt=(1,90),wc=(-20,-200,380,200))
#标题与函数解析式
t.setpos(180, 210)
t.write("y=(x+1)sqrt(x)-x·sqrt(x+1)-2图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=(x+1)sqrt(x)-x·sqrt(x+1)-2
def f(x):
    temp=(x+1)*x**.5-x*(x+1)**.5-2
    if temp>0:
        t.pencolor("red")
    else:
        t.pencolor("blue")
    return temp
trace(t,0,20,f)
t.ht()