如下图，已知直角三角形ABC的斜边AB是2，BC是1，求∠A的大小。
由锐角三角函数的性质，可知，sin∠A=BC/AB=1/2，问题就是已知锐角三角函数的值，求锐角的大小——锐角三角函数的逆函数。
与四种锐角三角函数相对，有四种逆函数：
反正弦函数arcsinx，
反余弦函数arccosx，
反正切函数arctanx，
反余切函数arccotx。
为了完整，这里补充介绍2个三角函数和它们的逆函数
正割函数sec∠A=AB:AC=1/cos∠A，（斜边比邻边）
反正割函数arcsecx，
余割函数csc∠A=AB:BC=1/sin∠A，（斜边比对边）
反余割函数arccscx。
在科学计算器普及之前，一般使用“三角函数表”来计算三角函数值和它们的逆函数值的。
保存至今的一张古老的“三角函数表”，是2世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密（Ptolemy）
所著的《天文学大成》一书中的一张“弦表”。这张“弦表”虽然和我们现在所用的正弦、余弦表有所不同，但它对当时的天文计算有重要作用。
托勒密在《天文学大成》一书中还介绍了他利用几何方法推导“弦表”的过程，这需要进行许多严密的推理和仔细的计算。由于当时既没有现成的计算公式，又没有先进的计算工具，所以制作这张“弦表”要付出艰辛的努力。这张“弦表”极大地促进了三角学在天文测量等应用方面的发展，人们可以直接利用上述计算结果解决有关问题，这带来很多便利，因此托勒密编制“弦表”在数学史上是值得纪念的一大贡献。
随着人们对数学研究的不断深入，正弦、余弦、正切等锐角三角函数进一步发展成三角函数，对数的产生极大地提高了三角函数计算速度，微积分的出现又带来利用级数计算三角函数的方法……后来的三角函数表正是在这些成果的基础上的不断改进。在科学研究、生产实践、军事活动等诸多领域中，这些三角函数表比托勒密编制的“弦表”发挥了大得多的作用，它们成为许多人手中应用极其广泛的计算工具。
科学计算器和计算机普及后，把这些三角函数迁移到了科学计算器和计算机中，打印的三角函数表就退出了历史舞台。
上面的sin∠A=0.5的∠A的值，亦即求arcsin0.5的值。有些反三角函数是可以通过几何方法求出它的准确值，这个就是其中之一。请看下面的方法。
以三角形的直角边为边作长方形C'C，作对角线C'C与AB相交与O点（作图代码附录1）。
由于OB是AB的一半，同理，可得OC也是C'C的一半，然而C'C=AB，BC也是AB的一半，所以可以得到△OBC是等边三角形，∠ABC=60°，∠BAC=90°-60°=30°，即arcsin0.5=30°．
由于
(sin∠A)²+(cos∠A)²=1，
0.5²+(cos∠A)²=1，
cos∠A=sqrt(3)/2，
所以
arccos(sqrt(3)/2)=30°．
又由于tan∠A=sin∠A/cos∠A=sqrt(3)/3，得
arctan(sqrt(3)/3)=30°．
又由于cot∠A=cos∠A/sin∠A=sqrt(3)，得
arccot(sqrt(3))=30°．
又由于sec∠A=1/cos∠A=2sqrt(3)/3，得
arcsec(2sqrt(3)/3)=30°．
又由于csc∠A=1/sin∠A=2，得
arccsc(2)=30°．
例题1：不用查表，也不用计算器或电脑，求arccos(sqrt(2)/2)的值。
解：设arccos(sqrt(2)/2)=x，由于逆函数的逆函数是函数本身，得
cosx=sqrt(2)/2，
(cosx)²=1/2，
又由于
(sinx)²+(cosx)²=1，
得
(sinx)²=1/2，
sinx=cosx。
可见三角形是等腰直角三角形，得
arccos(sqrt(2)/2)=45°．
练习题1：不用查表，也不用计算器或电脑，求arctan(sqrt(3))和arccot1的值。
附录1：
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
t.pensize(2)
t.pencolor("red")
#
t.setpos(-50, -50)
t.seth(30)
t.down()
t.fd(200)
posB=t.pos()
t.seth(-90)
t.fd(100)
posC=t.pos()
t.seth(180)
t.fd(10)
pos=t.pos()
t.pensize(1)
t.pencolor("black")
t.seth(90)
t.fd(10)
t.seth(0)
t.fd(10)
t.up()
t.setpos(pos)
t.pensize(2)
t.pencolor("red")
t.down()
t.setpos(-50,-50)
t.up()
t.seth(90)
for i in range(0, 100, 5):
t.down()
t.fd(2.5)
t.up()
t.fd(2.5)
t.setpos(-50, 50)
t.seth(0)
for i in range(0, int(100*3**0.5), 5):
t.down()
t.fd(2.5)
t.up()
t.fd(2.5)
t.up()
t.setpos(-50, 50)
t.seth(-30)
for i in range(0, 200, 5):
t.down()
t.fd(2.5)
t.up()
t.fd(2.5)
t.pencolor("black")
t.setpos(-55,-60)
t.write("A",align="right",font=("Arial", 20, "normal"))
t.setpos(posB[0],posB[1]+5)
t.write("B",align="center",font=("Arial", 20, "normal"))
t.setpos(posC[0]+5,posC[1]-10)
t.write("C",font=("Arial", 20, "normal"))
t.setpos(-55,40)
t.write("C'",align="right",font=("Arial", 20, "normal"))
t.setpos(-50+100*3**0.5/2,5)
t.write("O",align="center",font=("Arial", 20, "normal"))
t.ht()