【思考】

　　如下图，

分别将木条a，b与木条c钉在一起，并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的——它们与它们所在的直线捆绑在一起了。转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交。想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？

　　我们会想到，在相交于左侧变化到相交于右侧的过程中必有一个转折点，在转折点处只有2种情况：

（1）直线a与b既交于直线c的左侧，也交于右侧；

（2）直线a与b不相交。

　　由于过2点有而且只要1条直线，对于第一种情况，直线a与b有2个不同的公共点，但a和b是不同的直线相矛盾了，也就是说，第一种情况是不存在的。

　　在同一平面内，不同的两直线a与b不相交称作直线a与b互相平行（parallel），记作a//b。

　　平行线在生活中是很常见的，如下图，

条码中的条（bar）之间，游泳池赛道绳之间都给人平行线的感觉。你还能举出其他一些例子吗?

　　通过上面的论述，可知，在同一平面内，不重合的两条直线要么相交，要么不相交；由于同一平面内，不重合的两条直线不相交就是平行，所以得到下面的事实：

　　在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行。

【思考】

　　如下图，

过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？

　　通过前面的论述，在转动木条a的过程中，知道存在一个转动位置（转折点）使直线a与b不相交（平行）。如果还存在另外一个转动位置也使它们不相交，那么这个转动位置一定不是转折点，也就是说这个转动位置平白无故的由相交跳到不相交然后跳回相交，然而转动位置的变化是连续的，不可能存在这样的跳点。因此过点B画直线a的平行线，只能画出1条。至此，我们得到这样一个基本事实——平行公理：

　　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

　　同样，过点C画直线a的平行线，也只能画出1条。假如这条直线与过B的直线a的平行线不平行，即是相交，假设交点是D，如下图，

那么，就是说过直线a外一点D，至少存在2条直线平行与直线a，这与平行公理相悖，所以，由平行公理，进一步可以得到如下结论：

　　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

　　也就是说：如果b//a，c//a，那么b//c。如下图。

　　平行公理的提出，来自视觉的直觉。为了更显得“科学”，欧几里得在《几何原本》第一卷中，提出了“没那么理直气壮”的第五公设（里面的直线是指线段，“无限延长”是指第二公设“一条有限直线可以继续延长”）：

　　同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

　　用现在的相交线说法，这第五公设如此陈述：

　　同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在这一直线某一侧的两个同旁内角的和小于一平角（180°），则这另外两条直线相交于这一侧。

　　简单地说：直线相交于同旁内角和小于一平角的一侧。

　　第五公设可以这样理解：如果相交，那么就围成一个三角形，三角形的两个内角和当然小于一个平角（180°）。

【练习】

　　读下列语句，并画出图形：

（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；

（2）直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E。

参考资料：

１、《几何原本》【古希腊】欧几里得　著　兰纪正　朱恩宽　译