在计算机上用《几何画板》软件任意画一个三角形，量出它的各内角并计算它们的和，然后随意改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和。由此你能得出什么结论？请看下面视频。

　　从上面的视频，我们进一步引证了在小学通过度量或剪拼得出的结论——任意一个三角形的内角和等于180°。

　　通过度量（包括上面视频的方法）或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°。但是，由于测量常常有误差，软件计算也受到精确的的限制，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°。所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°。

【探究】

　　在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？

　　上面的拼合中，有不同的方法。你用了下图中的哪种方法？

　　在图(1)中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？

　　由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC（如下图），

那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。

　　已知：△ABC（上图）

　　求证：∠A+∠B+C=180°。

　　证明：如上图，过点A作直线l，使l//BC。

　　∵　l//BC，

　　∴　∠2=∠4　(两直线平行，内错角相等)。

　　同理∠3=∠5。

　　∵　∠1，∠4，∠5组成平角，

　　∴　∠1+∠4+∠5=180°　(平角定义）。

　　∴　∠1+∠2+∠3=180°　(等量代换)。

　　以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：

　　三角形内角和定理　　三角形三个内角的和等于180°。

【课堂练习】

　　如果用第二种拼法而受启发，给出证明。

　　例1　如下图，

在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数。

　　解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得

∠BAD=(1/2)∠BAC=20°。

　　在△ABD中，

∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°。

　　例 2　下图

是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？

　　分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角。如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB。

　　解：　∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°。

　　由AD//BE，得

∠BAD+∠ABE=180°

　　所以

∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100-40°=60°。

　　在△ABC中，

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°。

　　答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°。

　　下面用进行另一种方法解答。

　　解2：如下图，

　　延长AB到B'，由AD//BE，得

∠EBB'=∠DAB=80°，

　　所以

∠ABC=180°-∠EBB'-∠EBC=180°-80°-40°=60°。

∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°。

　　在△ABC中，

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°。

　　答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°。

【练习】

1.　如下图，

从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°。从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？

2.　如下图，

一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°。求∠C的度数。

　　如下图，

在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得

∠A+∠B+∠C=180°，

即

∠A+∠B+90°=180°，

所以

∠A+∠B=90°。

　　三角形内角和在直角三角形中的形式——直角三角形的两个锐角互余。

　　直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角角形ABC可以写成Rt△ABC。

　　例 3　如下图，

∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E。∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

　　解：　在Rt△ACE中，

∠CAE=90°-∠AEC。

　　在Rt△BDE中，

∠DBE=90°-∠BED。

　　∵　∠AEC=∠BED，

　　∴　∠CAE=∠DBE。

【思考】

　　我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。它的逆命题是，如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，成立吗？请你说说理由。

　　由于三角形内角和是一个平角，而其中有两角互补，即和是直角，那么剩下的一个角也一定是直角，所以这个三角形一定是直角三角形。

　　有两个角互余的三角形是直角三角形。

【练习】

1.　如下图，

∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。∠ACD与∠B有什么关系？为什么？

2.　如下图，

∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？