如下图，

把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD。像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

【思考】

　　如下图，

在△ABC中，∠A=70°，∠B=60。∠ACD是△ABC的一个外角。能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？

　　任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？

　　一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论（由定理直接推导出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据。）：

　　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

　　证明：如下图，

　　∠ACD是三角形的一个外角，作AB的平行线CE，得

∠ACE=∠A（平行线内错角相等），

∠ECD=∠B（平行线同位角相等）。

　　∵　∠ACD=∠ACE+∠ECD（整体等于部分和），

　　∴　∠ACD=∠A+∠B（等量代替等量等式不变）。

　　例 4　如下图，

∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

　　解：　由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠BAE=∠2+∠3，

∠CBF=∠1+∠3，

∠ACD=∠1+∠2。

　　所以

∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)。

　　由∠1+∠2+∠3=180，得

∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°。

【练习】

1.　说出下列图形中∠1和∠2的度数:

2.　“三角形外角和等于360°”是不是像“三角形内角和等于180°”一样，是三角形的特性呢？请举例说明你的理由。

【习题】

【复习巩固】

1.　求出下列图形中的x的值：

2.　(1)　一个三角形最多有几个直角？为什么？

　　(2)　一个三角形最多有几个钝角？为什么？

　　(3)直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？

3.　△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°．求△ABC的各内角的度数。

4.　如下图，

AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°。求∠BAC的度数。

【综合运用】

5.　如下图，

AB//CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2的度数。

6.　如下图，

AB//CD，∠A=45°，∠C=∠E。求∠C的度数。

7.　如下图，

B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。

8.　如下图，

D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。求∠BDC和∠BFD的度数。

9.　如下图，

∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°。求x的值。

【拓广探索】

10.　如下图，

AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°。填空：

　　∵　AB//CD，

　　∴　∠1+45°+∠2+45°=___________。

　　∴　∠1+∠2=________。

　　∴　∠E=________。

11.　如下图，

CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。求证∠BAC=∠B+2∠E。