小明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能得出它的内角和等于180°，为什么还要证明这个结论呢？

　　李老师：对于数学，通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可能有误差，试验可能受干扰，考察的对象可能不具有一般性等原因，一般来说由观察、试验等所产生的“结论”未必正确。例如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是180°，可能有的会比180°大些，有的会比180小些。

　　小明：如果我是用《几何画板》来计算，请看下面的视频，

无论三角形怎样变化，内角和都是180°，还需要证明吗？

　　李老师：电脑里面在计算角度时是使用浮点数，得到的结果180.00°并不等于180°。仅通过观察、试验、电脑计算等就下结论有时也缺乏说服力。例如，即使不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是180°时，人们还会有疑问：“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、试验、计算的对象也是有限个。因此，要确认“三角形的内角和等于180°”就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证、电脑计算等的方法，而必须进行演绎推理论证——对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，从而得出“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于180°”。

　　小明：哦，证明就是演绎推理论证，是吗？

　　李老师：是。

　　小明：那么，什么是演绎推理论证呢？

　　李老师：“论证”是过程，“推理”是思维类别，那里面的关键点是“演绎”了。什么是演绎呢？与演绎相对的是“归纳”。我们通过度量的手段和观察、试验、验证、电脑计算等的方法，对具体的一个个三角形进行测试，从而得到的结论“三角形的内角和等于180°”。这是一个归纳过程，如果忽略误差，这个结论在逻辑上只对于那些已经测试过的三角形适用。由于三角形由无限多个，归纳法——从具体到一般——得到的结论显然不可靠。演绎法就是从一般到一般的逻辑推理过程，第一个“一般”是公理（包括所谓的“公设”）和已经证明的定理；第二个“一般”就是结论——新的定理。例如，我们在证明“三角形的内角和等于180°”的过程中，使用的是平行线公理和已经证明了的平行线性质定理。事实上，把有限对象归纳出来的结论应用到所有对象是一个“猜想”过程，不证明而认为它是正确的显然不行。

　　小明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过公理和已经证明的定理的演绎推理论证——证明——才能得出结论。观察、试验等是发现数学公式、定理的重要途径，而证明则是确认数学公式、定理的必要步骤。

　　小明：我知道公理是无需证明的事实，但在初中几何里究竟用到什么公理呢？

　　李老师：这个在两千多年前欧几里得《几何原本》中就已经准备了。不过，它把公理分为“公理”和“公设”。古希腊人认为“公理”是所有科学都适用的不言而喻的道理；“公设”则是具体学科的前提条件。下面是《几何原本》第一卷中的“公理”和“公设”（里面的“直线”实际是我们现在说的“线段”）：

【公设】

　　1.　由任意一点到另外任意一点可以画直线。

　　2.　一条有限直线可以继续延长。

　　3.　以任意点为心及任意的距离①可以画圆。

　　4.　凡直角都彼此相等。

　　5.　同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交②。

【公理】

1.　等于同量③的量彼此相等。

2.　等量加等量，其和仍相等。

3.　等量减等量，其差仍相等。

4.　彼此能重合的物体是全等④的。

5.　整体大于部分。

①　到此原文中无“半径”二字出现，此处“距离”即圆的半径。

②　这就是大家提到的欧几里得第5公设，即现行平面几何中的平行公理的原始等价命题。

③　这里的“量”与4中的“物体”在原文中是同一个字thing。

④　为了区别面积相等与图形相等，译者将图形“相等”译为“全等”。

　　小明：我知道了，初中几何里用到的公理是：

1.　等于同一个量的两个量相等。

2.　等式两边同时加、减、乘、除以（除数非0）结果仍然相等。

3.　能重叠的图形全等。

4.　整体大于部分。

5.　两点确定一直线。

6.　圆心和半径确定一个圆。

7.　过直线外一点有而且只有一条直线与之平行——平行公理。

　　小明：用定理是不是要小心了，否则用到它下游的定理就荒谬啦？

　　李老师：对！这就是这个证明只用平行公理和平行线性质定理的原因了。数学中的定理并不是孤立的，而是有被证明的先后顺序。你不但要理解、记住这些定理，而且还要知道它在这个序列中的位置哦！

　　李老师：证明是数学科特有的过程，也是数学之所以成为数学的根本原因。数学的证明方法并不适合其他科目，但这恰恰成就了数学成为其他科目的工具。所以一定要学好数学哦！

　　小明：……

【练习题】

１、下面是小黄证明循环小数0.999……=1的过程：

　　证明：∵ 　1÷9=0.111……，

　　　　　　　2÷9=0.222……，

　　　　　　　3÷9=0.333……，

　　　　　　　4÷9=0.444……，

　　　　　　　5÷9=0.555……，

　　　　　　　6÷9=0.666……，

　　　　　　　7÷9=0.777……，

　　　　　　　8÷9=0.888……，

　　∴　０.999……=9÷9=1。

问小黄的证明正确吗？如果不正确，请给出你的证明。

２、下面是小黄证明“三角形内角和等于180°”的过程：

　　证明：如上图，

　　∵ 　∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于另两个内角之和），

　　等式两边同时加∠C，得

　　∠C+∠ACD=∠A+∠B+∠C（等式加等量仍相等）。

 　　∵ 　∠C+∠ACD=180°（平角等于180°），

　　∴　　∠A+∠B+∠C＝180°　（等量代换等式不变）。

问小黄的证明正确吗？为什么？

参考资料

１、《几何原本》【古希腊】欧几里得　著　兰纪正　朱恩宽　译