除了平行四边形的定义——两组对边分别平行作判定依据外，依据平行四边形的性质——对边相等、对角相等、对角线互相平分，能否判断平行四边形呢？即反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？

　　我们先把这些逆命题列出来，证明后就成了平行四边形的判定定理：

　　两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

　　两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

　　对角线互相平分的四边形是平行四边形。

　　分析：判定平行四边形，实际就是这条件可以推导出两组对边分别平行，这样问题就转化为平行线的判定——同位角相等、内错角相等和同旁内角和180°。下图是“两组对边分别相等的四边形”，即AB=CD，AD=BC，

连接一条对角线AC，两个三角形符合三边相等的全等条件，通过内错角相等得证；下图是“两组对角分别相等的四边形”，即∠A=∠C，∠B=∠D，

那么∠A+∠B=∠C+∠D，四边形的内角和是360°，所以同旁内角是180°得证；下图是“对角线互相平分的四边形”，即AO=OC，BO=OD，

由于相交线的对顶角相等，容易得到△AOD≌COB和△AOB≌COD，用内错角相等得证。

　　下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例证明。

　　如下图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

　　证明：∵　OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，

　　∴　△AOD≌△COB。（SAS）

　　∴　∠OAD=∠OCB。

　　∴　AD//BC。

　　同理　AB//DC。

　　∴　四边形ABCD是平行四边形。

　　由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理。也就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。

　　例1　如下图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。

　　分析：这个四边形的一条对角线被另外一条平分，只要证明另外一条对角线也被平分就可以了。由题意容易得到。

　　证明：∵　四边形ABCD是平行四边形，

　　∴　AO=CO，BO=DO。

　　∵　AE=CF，

　　∴　AO-AE=CO-CF，即EO=FO。

　　又　BO=DO，

　　∴　四边形BFDE是平行四边。

　　练习题1：用别的证法证明例题1.

　　由平行四边形的概念和性质得到两条平行线之间的任何两条平行线段都相等。它的逆命题：两条相等的平行线段的两组端点连线平行。实际就是平行四边形的另外一个判定命题（证明后是定理）：

　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　如下图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

　　分析：有一边相等，平行可转化为一角相等，如果还有一角的边相等就可以得到全等三角形从而得证。

　　证明：连接AC。

　　∵　AB//CD，

　　∴　∠1=∠2。

　　又　AB=CD，AC=CA，

　　∴　△ABC≌△CDA。（SAS）

　　∴　BC=DA。

　　∴　四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形。

　　例2　如下图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点。求证：四边形EBFD是平行四边形。

　　分析：四边形中有两对边是平行四边形对边的一半得证。

　　证明：∵　四边形ABCD是平行四边形，

　　∴　AB=CD，EB//FD。

　　又　EB=½AB，FD=½CD，

　　∴　EB=FD。

　　∴　四边形EBFD是平行四边形。

　　练习题2

1.　如下图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF。图中有哪些互相平行的线段？

2.　如下图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点。求证BE=DF。

3.　为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了。你能说出其中的道理吗？

4.　如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足。求证：四边形AFCE是平行四边形。