如下图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另个端点A所形成的图形叫做圆(circle)。其固定的端点O叫做圆心(center of a circle)，线段OA叫做半径(radius)。

　　以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。

　　请看下面的视频。

，时长00:15

　　从视频中可以看出下面的数学事实（无需证明的数学规律——《几何原本》第三公设：以任意点为心及任意的距离可以画圆。）：

　　(1)圆上各点到定点（圆心O)的距离都等于定长（半径r)；

　　(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

　　因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

　　我国古代战国时期的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载。它的意思是“圆这种图形，是由与一个中心等距的东西构成。”这与《几何原本》第三公设没有什么两样，只是它们的出发点不同。《墨经》为应用而数学；《几何原本》却是为数学而数学。

　　例1　如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上。

　　证明：∵　四边形ABCD为矩形，

　　∴　OA=OC=½AC，OB=OD=½ BD，AC=BD。

　　∴　OA=OC=OB=OD。

　　A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上。

　　连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)，经过圆心的弦叫做直径(diameter)。如下图，AB，AC是弦，AB是直径。

　　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)。以A，B为端点的弧记作,

读作“圆弧AB”或“弧AB”，由于无法文本输入，以后用“弧AB”代替。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆(semi-circle)。

　　大于半圆的弧（用三个点表示，如上图中的

)叫做优弧；小于半圆的弧(如上图中的

)叫做劣弧。

　　能够重合的两个圆叫做等圆。容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

　　练习题1

1.　如下图，从树木的年轮，可以知道树木的年龄。把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少？

2.　△ABC中，∠C=90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上。

　　不难发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。下面我们来证明这个结论。

　　要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。如下图，

设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点。过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'。

　　在△OAA'中，

　　∵　OA=OA'，

　　∴　△OAA'是等腰三角形。

　　又　AA'⊥CD，

　　∴　AM=MA'。

　　即CD是AA'的垂直平分线。这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于直线CD对称。即圆轴对称性质定理（为了在本文下面引用而取的名称）：

　　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。

　　根据上面的定理，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A和点A'是关于CD的对称点。把圆沿着直径CD（对称轴）折叠时，点A与点A'重合，AM与A'M重合，弧AC，弧AD分别与弧A'C，弧A'D重合。

　　因此，AM=A'M，弧AC=弧A'C，弧AD=弧A'D。

　　即直径CD平分弦AA',并且平分弧AA'，弧ACA'。

　　这就是垂径定理：

　　垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　垂径定理使用了新的证法——重叠证法。对于两个曲线形或一个曲线形的两部分，存在一条直线，使其中一个图形或图形的一部分的任一点，在另一个图形或图形的一部分都找到对称点，反之亦然——即一一对应关系，两个曲线形或一个曲线形的两部分关于这直线对称。因为垂径定理使用了圆轴对称性质定理，所以证明过程非常简单。下面不使用这个定理，进行证明。

　　如下图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AA'，垂点是M，求证：AM=A'M，弧AD=弧A'D，弧AC=弧A'C。

　　分析：由等腰三角形性质得A'是A的对称点，折叠后必然重合，得AM=A'M。证明平分弧需要证明：弧CAD上任一点，在弧CA'D上都有关于CD的对称点；弧CA'D上任一点，在弧CAD上都有关于CD的对称点。

　　证明：如果O与M重合，则

　　AM=A'M=⊙O半径。

　　 否则　连接OA，OA'，

　　在△OAA'中，

　　∵　OA=OA'，

　　∴　△OAA'是等腰三角形。

　　又　AA'⊥CD，

　　∴　AM=A'M。

　　∴　A'是A的关于CD的对称点。

　　如下图，在弧CAD上任取一点P，作PP'//AA'，交弧CA'D于P'，

　　同理可得P'是P的关于CD的对称点。

　　在弧CA'D上任取一点Q，作QQ'//AA'，交弧CAD于Q'，

　　同理可得Q'是Q的关于CD的对称点。

　　∴　以CD为对称轴折叠时，弧AD与弧A'D重叠，弧AC与弧A'C重叠，

　　∴　弧AD=弧A'D，弧AC=弧A'C。

　　进一步，我们还可以得到推论（依据等腰三角形三线合一）：

　　平分非直径弦的直径垂直于弦，并且平分这弦所对的两条弧。

　　如下图，在⊙O中，已知AA'是不过圆心O的一条弦，M是AA'的中点，直线l过O和M点，交于圆C和D点，求证：l⊥AA'，弧AC=弧A'C，弧AD=弧A'D。

　　证明：连接OA，OA'，

　　在△OAA'中，

　　∵　OA=OA'，

　　∴　△OAA'是等腰三角形。

　　∵　AM=A'M，

　　∴　OM⊥AA'。

　　∴　CD是弦AA'的垂直直径，

　　∴　弧AC=弧A'C，弧AD=弧A'D。

　　例2　赵州桥（如下图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离)为7.23m。求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）。

　　分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形。

　　解：如下图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R。

　　经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高。

　　由题设可知

AB=37，CD=7.23，

所以

AD=½AB=½×37=18.5，

OD=OC-CD=R-7.23。

　　在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA²=AD²+OD²，

即

R²=18.5²+(R-7.23)²。

　　解得R≈27.3。

　　因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m。

　　练习题2

1.　如下图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。求⊙O的半径。

2.　如下图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E。求证：四边形ADOE是正方形，