我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉。如下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，击中靶上不同位置的成绩是如何计算出来的呢？
要解决这个问题，就需要研究点和圆的位置关系。
我们知道，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径。如下图，设⊙O的半径为r，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外。
容易看出：
OA<r，OB=r，OC>r。
证明：如下图，∵ B点在⊙O上，
∴ OB=r。
延长OA交⊙O于A'，OC交⊙O于C'，
∵ OA'=r，OC'=r，
又 OA<OA'，OC>OC'，
∴ OA<r，OC>r。
反过来，如果OA<r，OB=r，OC>r，则可以得到点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外。
证明：如下图，∵ OB=r，
∴ B点在⊙O上。
过O，A做直线交⊙O于A'和A''，过O，C做直线交⊙O于C'和C''，
∵ OA<r，
∴ A点在A'A''（除A'和A''点）上，
∴ A点在⊙O内。
∵ OC>r，
∴ C点不在C'C''（包括C'和C''点）上，
∴ C点在⊙O外。
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外<=>d>r；
点P在圆上<=>d=r；
点P在圆内<=>d<r。
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示。弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好。
我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆。经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？请看下面的视频。
，时长01:30
经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？
，时长02:55
作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时作圆的问题就转化为确定圆心的问题。因此，经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个。经过两点A，B作圆，由于所作圆的圆心到A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个。
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离要相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段AC的垂直平分线上。如下图，
分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段AC的垂直平分线l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC。于是以点O为圆心，OA(或OB，OC)为半径，便可作出经过A，B，C三点的圆。因为过A，B，C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
把三角形的顶点看做一个点，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle)，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心(circumcenter)。
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
显然是不可以的，因为一条直线与圆相交最多两个交点。三个不同点有两种情况，一种是不在一条直线上，另一种是在一条直线上。前一种已证明可以确定一个圆，但这个定理不能作为另一种情况的依据。请先看下面的证明。
如下图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆。设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。所以经过同一条直线上的三个点不能作圆。
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法，也称归谬法。
为了说明反证法使用的情景，一图读懂原命题、逆命题、否命题和逆否命题：
反证法比较适合的情况：原命题已经证明是真命题，它的逆命题或否命题用一般方法不好证明。比如上一例，原命题“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”已经证明是真命题，要证明它的否命题“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”。又例如，要证明“同位角相等，两直线平行”的逆命题“两直线平行，同位角相等”。
用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”。
分析：平行三定理——同位角相等、内错角相等、同旁内角和是一平角，是不可以相互证明的，因为只要证明其中一个，其它两个就是推论。因此需要从平行公理——过直线外一点有而且只有一条直线与之平行和平行线判定（平行公理的推论），进行演绎推理证明。但从平行公理直接演绎证明同位角相等似乎不可能，这时就要考虑反证法了。
如下图，如果AB//CD，那么∠1=∠2。
证明：假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD。
这样，过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾。这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2。
