（1）知识要点：尺规作图是只用没有刻度的直尺和圆规作图。起源于古希腊，著名的有圆变方和三分角问题。（1）思路分析：由于是菱形，所以△ABC与△ADC关于直线AC对称，△ABC转动后的△AED与△ACD关于直线AD对称，因此只要作出C点关于AD的对称点即可即。
【（1）解答】第一步：延长AD：

第二步：以C为圆心CD为半径作○C，交于AD延长线上：
第三步：以上一步的交点为圆心，这点到C的的距离为半径作圆：第四步：以A为圆心，AC为半径作圆，与第三步的圆的交点即是C点关于直线AD的对称点，就是要求的E点，完成作图。

（2）思路分析：如下图，△ABD和△ACE都是等腰三角形，那么只要证明底角或顶角相等就行，很明显，它们的顶角相等。
【（2）证明】如上图，∵ 菱形ABCD和△ADE是△ABC转动而成
∴ 在△ABD和△ACE中，AB/AC=AD/AE，
∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE，
∴ △ABD∽△ACE。
（3）思路分析：如下图，要求的是CF/CD，CD已经可求，那么只要求CF，不难。
【（3）解答】如上图，另BD与AC的交点是G，延长AD交CE与F点，令BG=1，
∵ 菱形ABCD，∴ ∠CAF=∠BAC，BG=GD，AG=GC，BD⊥AC。
∵ tan∠BAC=⅓，
∴ AG=BG/tan∠BAC=3，
∴ AB²=1²+3²=10，∴ CD=AB=√10，AC=2·AG=6。
∵ 在Rt△ACF和Rt△ADG中，
∠CAF=∠DAG，
∴ Rt△ACF∽Rt△ADG，
∴ CF/DG=AC/AD=6/√10，
∴ CF=6/√10，∴ cos∠DCE=CF/CD=(6/√10)/√10=3/5。

函数与函数图像的那些事：函数能与图像上的点一一对应起来，得益于无理数的发现，使我们的数集从有理数扩充到实数，实数之所以称为实数，很大程度上与这事有关。这样，点P(m, n)在函数y=-2/x(x<0)的图像上，也就是说把m代入函数的自变量，那函数的值（因变量y）就是n。如下图：

【（1）解答】把m=-2代入函数y=-2/x的x，得函数值n=1。抛物线的一些特性：二次系数，决定开口大小和方向：大于0，开口向上，有最小值；小于0，开口向下，有最大值。如下图：过最大或最小值点的平行于y轴的直线是抛物线图像的对称轴。如下图：平行于x轴的直线如果与抛物线交于不同的2点，那么这两点关于对称轴对称（假设对称轴是x=a，两个交点的x坐标是x1,x2，那么x1+x2=2a）。如下图：当与x轴相交于两个点，那么这两个点的x坐标是一元二次方程的两个实根。两个实根之和与积与函数的系数有对应关系：a(x-x1)(x-x2)=ax²+bx+c，ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=ax²+bx+c，
所以 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
抛物线的两种解析式与它们之间的换算：普通式y=ax²+bx+c，顶点式y=a(x+p)²+q（顶点是(-p,q)），p，q与b，c的换算关系：a(x+p)²+q=ax²+bx+c，ax²+2apx+ap²+q=ax²+bx+c，所以 p=b/2a，q=c - b²/4a。x=0时，得到在y轴上的截距ap²+q。在研究函数图像时，往往使用顶点式。（2）思路：①与x轴相交，即y=0，那么M,N两点的y坐标都是0，x坐标是(x-m)(x - n) = 0 的两个根m和n。假设抛物线顶点E的坐标是(p,q)，那么对称轴是x=p，p=(m+n)/2，由于 n=-2/m，所以p=m/2-1/m，因此q是m的函数。【（2）①解答】∵ m,n是方程(x-m)(x-n)=0的两个实根，设E点的坐标是(p,q)，
∵ m+n=2p，n=-2/m，
∴ p=m/2-1/m，∴ q=(p-m)(p-n)     =(-m/2-1/m)(m/2+1/m)     =-(m/2+1/m)²     =-[(m/2-1/m)²+2]∴ 当m/2-1/m=0，即m=-√2时（舍去正值），E点到达最高处(0,-2)。②如下图，如果四边形FGEC是平行四边形，那么CE平行于y轴，CE=GF。由于E点是顶点，那么CE是对称轴，这样可以计算圆心的位置，从而计算CE的长度（m的表达式），由MN和FG是相交的弦，可计算FG的值（m的表达式），判断方程是否有负实数解。

【（2）②解答】E点的坐标是(p,q)，p=m/2-1/m, q=-(m/2+1/m)²=-p²-2，抛物线对称轴x=m/2-1/m，设C点的y坐标是t，则CE=|q-t|。
∵ p-m=m/2-1/m-m=-(m/2+1/m)
∴ (p-m)²=(m/2+1/m)²=-q∵ CM²=t²-q，要C为圆心，那么CM=CE
∴ (q-t)²=t²-q,∴ t=(1+q)/2,
∴ CE=|q-(1+q)/2|=|(q-1)/2|，
∴ CE=(1-q)/2。
∵ G点在y轴上，
∴ G点的y坐标=m×n=-2，
∵ GF和MN是相交弦，
∴ OG·OF=OM*ON=2，∴ OF=1，OF+OG=3。
由CE=GF列方程(1-q)/2=3，解得：q=-6，即
(m/2+1/m)²=6，由题可知m<0, ∴ m/2+1/m=-√6，即m²+2√6m+2=0，解得
m=-√6±2。
∵ 两个解都小于0，∴ 这样的平行四边形是存在的。
（1）思路：因为△FBA是等腰三角形，如果能证明一个角是60°，就得证。
【（1）解答】
∵ BC与BF关于BE对称，
∴ ∠FBE=∠CBE=90°-∠ABF，BF=BC
∴ ∠FBA=∠FBE-∠ABF=90°-2∠ABF=90°-30°=60°，∵ □ABCD∴ FB=AB∴ △ABF是等边三角形。
（2）思路：如果是等腰三角形，必定是GF=GB或者∠GFB=∠GBF（采用）。设∠ABE=α，然后通过三角形AGB不难求出α。

【（2）解答】
设∠ABE=α，由题可得∠FBG=CBG=90°-α，由（1）得 ∠FBA=∠FBE-∠ABF=90°-2α∴ ∠F=[180°-(90°-2α)]/2=45°+α由∠F=CBG，得
45°+α = 90°-α，
解得 α=22.5°。∴ 当∠ABE=22.5°时，△BGF是等腰三角形。（3）思路：如下图，△BGF的面积，如果直接去列式，不太容易，但由于BF和BC是对称点，连接GC，那么△BGF和△BGC的面积相等。由于△BGC的底一定，高最大时，面积最大值。我们知道G点从A点运动到D点，由于AB=DC，那么其中一定有个最大值，凭感觉和上面的计算，高在中点的位置最大。刚才计算不难发现，∠FGB恒等于45°（所谓恒等于，就是在一些相关变量在变化中保持相等），因此可以判定G点在正方形外接圆的AD劣弧上移动，问题得解。【（3）解答】
设∠ABE=α，
∵ 正方形ABCD， BF和BC关于BE对称，
∴ ∠ABF=90°-2α，∴ ∠FAB=(180°-∠ABF)/2=45°+α，∵ ∠FAB=∠AGB+∠ABE，∴ 45°+α = ∠AGB+∠ABE，∴ ∠AGB=45°，∴ G点在正方形ABCD外接圆的AD劣弧上移动，∴ 当G点运动到AD劣弧中点T时面积最大。外接圆的半径r=AB/√2，三角形的高h=r +AB/2=AB(√2+1)/2，△BGF最大面积=AB²(√2+1)/4=3(√2+1)³/4=(21+15√2)/4。∵ AB//TK，∴ Rt△AEB∽Rt△KBT，∴ AE/KB=AB/TK

∴ AE=AB·KB/TK=AB/(√2+1)=(√3+√6)/(√2+1)=√3。