有理数的来历：人类最初认识的是自然数，为了解决小的数减大的数（例如1-2）不能用自然数来表示结果的问题，引入了自然数的相反数；又为了解决除法的问题（例如1÷2没有办法表示），又引入了分数，这样分数与自然数及它的相反数相对。为了表述上的方便，把自然数与它的相反数统称为整数；后来毕达哥拉斯学派的希帕苏斯（Hippasus，公元前5世纪）发现了正方形的对角线与边长不可公度——度，即度量，不可公度就是没有共同的量度单位（无论单位有多小，都不可以同时以整数量完）。这些量在数上的反映，后来就成了无理数。这样无理数与整数和分数相对，为了表述的方便，同样的把整数和分数统称为有理数。相反数的知识：最初为了解决不能用自然数表示全部减法结果的问题，引入了自然数的相反数。相反数是相互的，相反数的相反数是它本身，相反数适用于实数集。答案：B

轴对称图形与图形轴对称：轴对称图形来源于图形轴对称，但它们不是相同的概念。图形轴对称是一对图形至少有一条对称轴。研究图形轴对称的过程中，发现某些图形可以至少有一条对称轴把它切为两个图形，这两个图形轴对称，我们就把这种图形叫做轴对称图形。轴对称图形是图形的本身特性，图形轴对称是指两个图形的相似方式。图形旋转与旋转对称图形：一个图形，以图形的边上或外面的一点为转轴转动，就是图形旋转；我们发现某些图形以图形内部的一点为转轴，转动一个角度后能够完全与自己重叠，这样我们把这类图形叫做旋转对称图形。
旋转对称图形与中心对称图形：旋转对称图形有一个产生重叠的最小转角，如果这个角至少有一个整数倍是平角（180°），那么这个旋转对称图形就是中心对称图形。轴对称图形与中心对称图形的判定方法：首先用我们的本能定位图形的中心（人类的大脑有超强的图像计算能力，这个能让计算机崩溃的问题，人类可以轻而易举的完成），然后经过这个中心点和图形中的某些关键点（一般是图形的顶点）能否把图形分为图形轴对称的两个图形，如果能找到这样一条直线，那么这个图形就是轴对称图形；以这个中心点转动图形180°，看看能否重叠来判断是否是中心对称图形。答案：D

知识要点：科学记数法是等值把小数点移到第一个非0数之后，指数的绝对值是移动位数，向左为正，向右为负。答案：B

知识要点：对于排好序的样本，当样本数为奇数时，中位数是中间的数，当是偶数时，是中间两个数的平均值。思路分析：这里是5个排好序的量，中位数是第三个。答案：C

知识要点：直线平移后与原直线平行，邻边相等的平行四边形是菱形。思路分析：要使四边形ECDF为菱形，那么FD=DC=4，所以AF=2。答案：B

知识要点：指数运算与幂运算的对应：同底幂相乘<==>指数相加
同底幂相除<==>指数相减异底同指数幂相乘<==>指数不变，底相乘异底同指数幂相除<==>指数不变，底相除幂之幂<==>指数相乘幂开方<==>指数相除答案：D

知识要点：平行线同位角相等，三角形一个外角等于两个内对角的和。思路分析：由于∠ABD知道，只要知道一个对外角——∠A的补角，就可以计算∠ACB的度数，由平行线的性质不难得出。答案：A

知识要点：列方程的要点——把未知数和已知数同样对待，找等量关系。思路分析：小货车每辆运x吨，大货车多5吨，就x+5，总重量与单位运力比值是要的车辆数，由题不能得出答案。答案：C  （如果是大货车每辆运x吨，答案是B）

知识要点：建立函数解析式，并通过函数解析式求某自变量值的函数值。思路分析：由题不难得出函数解析式y=(1.025-cosα)x，把x=1000，α=30代入函数，就可以得到函数值。本问题比较简单，不这样想也能得到答案，不过对于复杂问题，按这步骤做是非常重要的。答案：B

知识要点：这是物理运动学问题，需要掌握的技能——通过运动图像可以推导出运动函数解析式，反之亦然。思路分析：P点从A的出发，所以AB=15，剩下的问题是求BC的长，由于知道速度，只要知道所用的时间就可以了。但是只知道总时间，所以需要求A到B的时间，问题可以解决。答案：C

知识要点：概率是一个极限，也就是一个随机样本的样本数趋向无穷大时，某种情况出现的几率。数学家们发现概率等于随机本体中随机对象的占比。思路分析：《红星照耀中国》这个对象在本体（《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》、《钢铁是怎样炼成的》）中占比是1/4，所以概率是1/4。
答案：1/4

知识要点：因式分解尝试优先顺序——提取公因式，x²+(p+q)x+pq模式分解，abx²+(aq+bp)x+pq模式分解，平方差公式，完全平方公式，奇数幂之和或差（例如：x³+1、x³-1）。
思路分析：求整数的值，往往不是通过已知条件求出每个代数的值，然后代进去计算，而是使用类似于换元的方法的等值变换——整式运算、因式分解等，从而使代数式只含已知值的代数式。本题显然要使用因式分解。答案：42

知识要点：初中需要掌握的有关圆的知识——等弧或弦对应（优劣相同）圆周角相等和圆心角相等；直径所对的圆周角是直角；圆切角与对应的圆周角相等；等弦到圆心的距离相等；经过切点与圆心的直线垂直于该切线，反过来，经过圆上一点与直径垂直的的直线与圆相切。
思路分析：由于∠BAD是∠BAC的半角，因此只要知道∠BAC就行。由∠BAC所对的弧加上AC弧是一个半圆弧得解。或由于AB是直径，所以∠ACB是直角，则∠BAC=90°-∠ABC，由于∠ABC与∠ADC同弧得解。答案：35°

知识要点：初中需要记住的三个锐角三角函数（正余弦、正切）：30°、45°、60°，以及掌握由角平分线性质和勾股定理推导15°和22.5°的锐角三角函数。
思路分析：由于C点在函数曲线上，只要知道它的坐标，就可以求出k的值。不难得出OC的倾角是30°，那么只要知道OC的长，就可以求出C点的坐标。由AB的值和锐角三角函数是可以达到的。【解答】（为了减少出错的几率，计算过程不要代入数值）∵ OB=AB/sin30°，OC=OB/cos30°，∴ OC=AB/(sin30° · cos30°），∵ OC的倾角=90°-2×30°=30°，
∴ C点x坐标=OCcos30°=AB/sin30°，y坐标=OCsin30°=AB/cos30°，∴ AB/cos30°=k/(AB/sin30°),∴ k=AB/cos30° × AB/sin30°=4√3。答案：4√3

知识要点：等腰三角形三线合一，对称图形中的任何对应几何元素都相等。思路分析：由于△ADG和△DCG共高，由条件可知S△ADG/S△DCG=3，因此只要求出S△AEG/S△DCG的值就可以得到结果。由于是对顶角的两个三角形，而且∠E=∠C，所以△AEG∽△DCG。我们知道面积比等于相似比的平方，所以只要能够求出一对对应边的比就行。显然CG是确定可求的，它的对应边是EG，问题转化为求EG的长度。到此为止，条件：AB=AC，△ABD与AED对称这些条件还没用上，要求EG务必要用它们。等腰三角形是三线合一的，因此，作BC上的高AH，翻折后H点必然落在DG上的H'点（因为GE<DG），如下图。可以用勾股定理来计算GH'的长度，因此可得GE长度。【解答】作BC上的高AH，翻折后H点必然落在DG上的H'（因为GE<DG），如上图。
∵ AB=AC，
∴ BH=HC。∵ GE<DG，∴ 翻折后H点必然落在DG上的H'点，即EH'=BH。令AB=AC=5，∵ tan∠B=3/4，∴ BH=4，AH=3。∴ AH'=3，AC=5，EH'=4。
∵ AG:GC=3:1，
∴ AG=15/4，GC=5/4。在Rt△AGH'中，
∵ H'G²=AG²-AH'²=(15/4)²-3²=(9/4)²，
∴ H'G=9/4，∴ EG=4-9/4=7/4。
在△AEG和△DCG中，∠DGC=∠AGE，∠C=∠E
∴ △AEG∽△DCG，
相似比k=EG/CG=7/5，
∴ S△AGE/S△ADG=S△DCG/S△ADG · S△AGE/S△DCG=1/3 · (7/5)²=49/75。答案：49/75

代数式运算要点：开平方或开立方时，先把底数分解为2个因数的积，第一个是平方数或立方数，第二个是商，第一个因数开方后写在根号左边，第二个留在根号内，如果底数是一个平方数或立方数就没有根号部分。需要记住的锐角三角函数（sin,cos,tan）的角度是30°、45°和60°。不用死记硬背，30°和60°是一块三角板（三边分别是1，√3，2），45°又是另外一个三角板（三边分别是1，1，√2）。非0数的0次方都是1。【解答】原式=1+2-3+√2=√2。

分式运算要点：很多情况要先用因式分解后，通过约分简化分式，然后通分合并，把除以分式的运算变为乘以该分式的倒数，最后约分。【解答】原式=(x/x-1)÷[(x-1)(x+1)/(x-1)²]                   =(x/x-1)×(x-1)/(x+1)                   =x/(x+1)                   =3/4。

知识要点：饼图中是百分比，柱状图是数量，只要知道某一项的饼图中的百分比和条形图中的数量，就可以求总样本数；知道总样本数后，只要知道两个图中的一项，就可以求另外一个图的相应的项。加权统计方法的运用。
思路分析：①饼图和条形图中的健身的数值都已知，所有总样本数可求；②要补充条形图，就要知道“娱乐”的人数，由于其他人数都已知，所以它也可求；③总数乘样本比例可以估算；④把相应的数乘权重后相加。【解答】①a=40÷40%=100。
②娱乐人数=100-17-13-40=30人，补充条形图如下：
③100000×40%=40000（人）。（如果是娱乐设施，答案是30000人）
④权值=1:1:1:1，那么满意度之和甲=7+7+9+8=31，
乙=8+8+7+9=32，
乙满意度较高。
若权值=1:1:2:1，那么满意度之和，
甲=7+7+9×2+8=40，
乙=8+8+7×2+9=39，甲满意度较高。

（1）思路分析：把A和B的单价设为未知数，然后寻找等量关系，第一个等量关系——B单价比A单价高25元，第二个等量关系——2个B和1个A共200元。方程数与未知数的个数一样，方程组可解。【解答】设A,B玩具的单价分别是x,y元，那么
y=x+25  ①
2y+x=200 ②
把①代入②得
2(x+25)+x=200，
x=50，
y=50+25=75.
答：设A,B玩具的单价分别是50,75元/个。
（2）思路分析：设A玩具数量是x，那么B玩具的数量是y，然后寻找等量关系，第一个等量关系——B数量是A的2倍，第二个数量关系——总额不超过60000元。列式组可解。【解答】设A,B玩具的数量分别是x,y个，那么y=2x   ①
75y+50x ≤60000   ③把①代入②得
200x ≤ 60000，x ≤ 300即A玩具不超过300个。（如果不超过20000元，那么答案是不超过100个。）

（1）思路分析：OA是半径，作AC⊥OA于A点即可。作图完成后如下图。
要证明DB是○O的切线，因为OD是圆的半径，所以只要证明BD⊥OC即可。考察△OAC和△ODB，只要证明它们全等就行。它们共用∠BOC，有一对边相等OA=OD，只要证明OC=OB就行了，由条件不难证明。
【（1）证明】∵ AC是○O的切线，
∴ CA⊥OB，∴ OC²=OA²+AC²=3²+4²=5²，∴ OC=5。OB=3+2=5，
∵ 在△OAC和△ODB中，
OA=OD，
∠AOC=∠DOB，OC=OB=5，∴ △OAC≌△ODB，∴ ∠OAC=∠ODB=90°，∴ DB为○O的切线。
（2）思路分析：容易证明△ABE∽△DBO，计算不难。【解答】∵ 在△ABE和△DBO中，∠BAE=∠BDO=90°，
∠ABE=∠DBO,
∴ △ABE∽△DBO，∴ AE/DO=AB/DB，∴ AE=DO·AB/DB，∵ DB²=OB²-OD²=5²-3²=4²，∴ DB=4，
∴ AE=3·2/4=3/2。

（1）思路分析：已知抛物线顶点和两个对称的点，用顶点式不难算出解析式。
【解答】∵ 抛物线顶点是(0,4)，
∴ 设抛物线的解析式为y=ax²+4，
∵ D点的坐标是(2,3)，∴ 3=4a+4，a=-¼。
即解析式为：
y=-¼x²+4 (-2≤x≤2)。（2）思路分析：y=3.75的两个对称点长减两倍边长求得。【解答】解方程3.75=-¼x²+4，得正数解x=1，∴ GM=2-2×0.75=0.5（米）。（3）思路分析：可以把阳光看做同斜率的直线，只要确定与抛物线的切点坐标就可以确定直线的解析式，从而确定阴影的长度。
【解答】设阳光直线的解析式为y=-¾x+b，把它代入抛物线解析式得方程：
-¾x+b=-¼x²+4，∴ b=-¼x²+¾x+4，
∴ 当x=3/2时b最大，b=4+9/16=73/16，∴ 阳光的解析式是y=-¾x+73/16。当y=0时，x=73/12BK=2+73/12=97/12。

（1）思路分析：①斜边相等，由平行线内错角相等得证。②连接EC，如下图，那么BE·FC是△BEC的面积的2倍，不难证明剩下的两个三角形面积是矩形的一半，得解。
【（1）①证明】∵ 在△ABE和△FCB中，EB=BC，
∠AEB=FBC，（平行线内错角相等）
∠EAB=∠BFC=90°，
∴ △ABE≌△FCB
【（1）②解答】连接EC，如下图，
∵ S△EBC=½BC·DC=½S矩形ABCD，
∵ S△EBC=½BE·CF，
∴ BE·CF=S矩形ABCD=20。

（2）思路分析：我们不难发现，Rt△AEF∽Rt△CBE，由于EF和BC不是对应边，所以它们的乘积等于它们对应边的乘积，即EC·AE，由条件可以算出。
【（2）解答】∵ 在Rt△AEF和Rt△CBE中，
∠FAE=∠EBC，
∴ Rt△AEF∽Rt△CBE，∴ EF/CE=AE/BC，
∴ EF·BC=AE·CE，
连接AC，如下图，
AE·CE=2S△AEC=S菱形ABCD+2S△BEC，∵ cos∠CBE=cos∠DAB=⅓，
∴ S△BEC=⅓S△ABC=1/6S菱形ABCD∴ AE·CE=4/3S菱形ABCD=32。

直角三角形中的比例：作直角三角形斜边上的高，如下图，把直角三角形分为两个相似的直角三角形，这两个相似的直角三角形也和原三角形相似，即Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD。古希腊欧几里得在他的《几何原本》中利用这个性质，证明了勾股定理（在外国一般叫毕达哥拉斯定理），他的证明步骤简述如下：∵ Rt△ABC∽Rt△ACD∴ AB/AC=AC/AD，∴ AC²=AB·AD；∵ Rt△ABC∽Rt△CBD，∴ AB/CB=CB/DB，∴ CB²=AB·DB；∴ AC²+CB²=AB·AD+AB·DB=AB·(AD+DB)=AB²，即勾股定理a²+b²=c²。从上面的证明可以看到，欧几里得只用到两对相似三角形，还有一对相似三角形没用到。那么剩下的一对相似三角形可以推导出什么有用的定理呢？∵ Rt△ACD∽Rt△CBD∴ AD/DC=DC/DB，∴ DC²=AD·DB。这就是映射定理：直角三角形斜边上的高是它所分开的两段斜边的比例中项。（3）G在AD上思路分析：第一种情况，假设G在AD上，把图作出来，连接FG，如下图。

已知EG·EF的值，即2S△EGF的值，和△EGF是直角三角形，E点固定。G和F在已知的直线上，原则上可以设AG和BF两个未知数，通过计算EG和EF的斜率（积等于-1）和长度（积为定值），但是由于ABCD是平行四边形，E,G,F三点的坐标都比较复杂，如下图（A为原点，AB所在的射线为x正轴）。可以预见，用解析法将要产生非常复杂的代数运算式，即是说解析法行不通。在解析法中，我们貌似用到了所有的已知条件，还有没有什么几何关系元素没用上的呢？细想一下，我们只使用CE=2来计算E的坐标，由于CD=6，所以CE=2也反映了一个比例，这个已知条件我们还没用上。因此我们把视野扩充到平行四边形之外，延长AD和FE交于M点，如下图。
不难得到△MDE∽△FCE，因此得到S△MDE=7√3，作MG上的高EH，如下图，不难求出EH=2√3和DH=2，从而得到MG=7。由映射定理可计算出AG的长度。【（3）G点在AD上解答】（直接引用网络解法）：

（3）G在AB上思路分析：第二种情况，假设G在AB上，与第一种情况差不多，不过需要过G作AD的平行线GN交DC于N，如下图，设AG=x，那么算出的线段是x的表达式（除了EH），由映射定理列方程可解。
【（3）G点在AB上解答】（直接引用网络解法）：