有理数的来历：人类最初认识的是自然数，为了解决小的数减大的数（例如1-2）不能用自然数来表示结果的问题，引入了自然数的相反数；又为了解决除法的问题（例如1÷2没有办法表示），又引入了分数，这样分数与自然数及它的相反数相对。为了表述上的方便，把自然数与它的相反数统称为整数；后来毕达哥拉斯学派的希帕苏斯（Hippasus，公元前5世纪）发现了正方形的对角线与边长不可公度——度，即度量，不可公度就是没有共同的量度单位（无论单位有多小，都不可以同时以整数量完）。这些量在数上的反映，后来就成了无理数。这样无理数与整数和分数相对，为了表述的方便，同样的把整数和分数统称为有理数。相反数的知识：最初为了解决不能用自然数表示全部减法结果的问题，引入了自然数的相反数。相反数是相互的，相反数的相反数是它本身，相反数适用于实数集。答案：D

轴对称图形与图形轴对称：轴对称图形来源于图形轴对称，但它们不是相同的概念。图形轴对称是一对图形至少有一条对称轴。研究图形轴对称的过程中，发现某些图形可以至少有一条对称轴把它切为两个图形，这两个图形轴对称，我们就把这种图形叫做轴对称图形。轴对称图形是图形的本身特性，图形轴对称是指两个图形的相似方式。图形旋转与旋转对称图形：一个图形，以图形的边上或外面的一点为转轴转动，就是图形旋转；我们发现某些图形以图形内部的一点为转轴，转动一个角度后能够完全与自己重叠，这样我们把这类图形叫做旋转对称图形。
旋转对称图形与中心对称图形：旋转对称图形有一个产生重叠的最小转角，如果这个角至少有一个整数倍是平角（180°），那么这个旋转对称图形就是中心对称图形。轴对称图形与中心对称图形的判定方法：首先用我们的本能定位图形的中心（人类的大脑有超强的图像计算能力，这个能让计算机崩溃的问题，人类可以轻而易举的完成），然后经过这个中心点和图形中的某些关键点（一般是图形的顶点）能否把图形分为图形轴对称的两个图形，如果能找到这样一条直线，那么这个图形就是轴对称图形；以这个中心点转动图形180°，看看能否重叠来判断是否是中心对称图形。答案：C

基础知识：“一定是”和“不可能是”都不是随机事件，介于二者之间的情况才是随机事件。
答案：B

知识要点：指数运算与幂运算的对应（开方可以认为指数½）：同底幂相乘<==>指数相加
同底幂相除<==>指数相减异底同指数幂相乘<==>指数不变，底相乘异底同指数幂相除<==>指数不变，底相除幂之幂<==>指数相乘幂开方<==>指数相除答案：D

基础知识：视图不是我们看东西的平面样子，而是一种数学抽象，是平行光在光的垂直面的投影。
答案：A

认识反比例函数：第一点，反比例函数的定义域不是整个实数集，因为0不在定义域；第二点，函数的每一个坐标的x和y坐标的积恒定不变，也就是说，与原点的连线为对角线的矩形面积不变；第三点，反比例函数的图像在对顶的一对象限内（当常数项>0，在1和3，当常数项<0，在2和4）并以原点为对称中心的中心对称图形。如下图。

思路分析：当常数项>0，所以（A）不对；由于x≠0，所以y≠0, 所以（B）不对；由于函数是以原点为中心的中心对称图形，(1,3)的对称点是(-3,1)，即a也可以是-3（解方程可以得到这两个根），所以（D）不对。答案：C

知识要点：概率是一个极限，也就是一个随机样本的样本数趋向无穷大时，某种情况出现的几率。数学家们发现概率等于随机样本中随机对象的占比。思路分析：样本是四个项目中选择2个项目（不分先后），那随机样本是4个项目任意抽出2个项目的数量，所以样本数是3+2+1=6。
答案：C

思路分析：从已知代数式求未知代数式的值，往往不是通过已知条件求出每个代数的值，然后代进去计算，而是使用类似于换元的方法的等值变换——整式运算、因式分解等，从而使代数式只含已知值的代数式。本题显然要使用因式分解、通分、约分简化代数式后代入已知代数式。【简解】原式=(x+1)/x²，由x²-x-1=0，得x²=x+1，所以原式=1。
答案：A

思路分析：如果设AB=1，那么DC=3，如下图，过B最BF⊥DC，垂足是F，如下图。那么FC=2，只要知道△BFC的另外一条边的就可以计算sinC的值了。E是切点这个已知条件还没用上，因此，连接DE，那么DE⊥BC，DE=AD，不难证明DC=BC(三角形DCB面积的两种计算方法）。所以cosC=2/3，sin²C=1-cos²C=5/9。
答案：B。

思路分析：在公式S=N+½L-1中，要求N，那么只要知道S和L就可以求出。三角形的三点已知，所以S可求。关键是如何求L，如下图（尺寸缩小了一半，但不影响说明问题），我们不难发现，如果一直线是平行于x轴或y轴，那么就是非0坐标的整点；否则是增加较慢的那一个轴的整数个数。
【简解】S=30×20÷2=300，L=31(OA含两端)+10(OB含一端)+19(AB不含端点)=60，所以N=300+1-60/2=271.
答案：C

知识要点：请看第一题。答案（不唯一）：√3。

知识要点：科学记数法是等值把小数点移到第一个非0数之后，指数的绝对值是移动位数，向左为正，向右为负。答案：9

思路分析：由于直尺的宽度是一样的，因此读数是宽度除以角的正弦值。
【简解】尺的宽度=2tan45°=2，读数=2/tan37°≈2/0.75≈2.7.
答案：2.7

思路分析：P点的纵坐标就是善行者追上不善行者的路程。用函数图像交点的含义列方程计算。
【简解】善行者函数s=100t；不善行者函数s=60t+100，解方程
100t=60t+100得 t=10/4，所以 s=100×10/4=250答案：250

抛物线的一些特性：二次系数，决定开口大小和方向：大于0，开口向上，有最小值；小于0，开口向下，有最大值。如下图：过最大或最小值点的平行于y轴的直线是抛物线图像的对称轴。如下图：平行于x轴的直线如果与抛物线交于不同的2点，那么这两点关于对称轴对称（假设对称轴是x=a，两个交点的x坐标是x1,x2，那么x1+x2=2a）。如下图：当与x轴相交于两个点，那么这两个点的x坐标是一元二次方程的两个实根。两个实根之和与积与函数的系数有对应关系：a(x-x1)(x-x2)=ax²+bx+c，ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=ax²+bx+c，
所以 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
抛物线的两种解析式与它们之间的换算：普通式y=ax²+bx+c，顶点式y=a(x+p)²+q（顶点是(-p,q)），p，q与b，c的换算关系：a(x+p)²+q=ax²+bx+c，ax²+2apx+ap²+q=ax²+bx+c，所以 p=b/2a，q=c - b²/4a。x=0时，得到在y轴上的截距ap²+q。在研究函数图像时，往往使用顶点式。思路分析：由于函数还要进过(0,c)点（c<0）,综合其它点，可得抛物线开口向上，顶点在第一象限。m,n是方程ax²+bx+c=0的两个根。把函数转化为：y=a(x+b/2a)+c-b²/4a  （顶点式函数）和 y=ax²+a(m+n)x+amn  （根式函数）。①那么-b/2a>0，因为a<0，所以b>0，该结论不正确；②因为顶点在第一象限，且经过(1,1)，所以c-b²/4a>1，即4ac-b²<4a，该结论正确；③由0<m<1和n=3，那么对称轴是x=(m+n)/2（1.5<x<2），所以2-x<0.5<x-05，因此(2,t)点比(1,1)点更靠近顶点，所以t>1，该结论正确；④与函数y=x的交点只有一个，因为(1,1)点也满足y=x，所以y=x与抛物线的切点是(1,1)。   用根式函数，得方程ax²+a(m+n)x+amn=x，两边除以a后，移项，得方程x²+(m+n-1/a)x+mn=0，有相等的实根x=1，所以m+n-1/a=-2，mn=1，因为 n≥3，所以m≤1/3，同时m>0，所以该结论正确。答案：②③④。                                                                                

思路分析：由题易得S△FGD=S△AGD+S△CEH，它们都是8字相似的，由于相似比的平方是面积比，可解。【简解】∵ S△DFE=S四边形ADEC，
∴ S△FGD=S△AGD+S△CEH，
∵ △ABC是等边三角形，△DFE≌DBD，
∴ ∠A=∠B=∠F=∠C，∵ ∠AGD=∠FDH， ∠FHG=∠CHE，
∴ △FGD∽△AGD∽△CEH，∴ (DG/HG)²=S△AGD/S△FGD，(EH/GH)²=S△CEH/S△FGD，∴ HG²=m²+n²，
∴ HG=√(m²+n²)。
答案：√(m²+n²)。

知识要点：不等式组是所有不等式的交集。【解答】（Ⅰ）移项得2x<6，即x<3；（Ⅱ）移项得2x≥-2，即x≥-1；（Ⅲ）如下图，

（Ⅳ）-1≤x<3。

思路分析：∠E=∠ECD的充要条件是AE//CD，由条件易得∠EAD=∠D。
【解答】（1）证明：∵ AD//BC，
∴ ∠EAD=∠B.
∵ ∠B=∠D，
∴ ∠EAD=∠D.∴ BE//CD，
∴ ∠E=∠ECD.（2）等边三角形.

数据统计中的指标：平均数，总数除以个数，反映样本数据的平均水平。中位数，样本排序后中间的一个值（奇数个数）或两个值的平均值（偶数个数），反映样本的中间水平；中位数与平均数的差距反映样本的概率分布的对称状况，差距越小越对称。众数，样本中出现次数最多的数（注意：是数本身不是次数），众数反映数据的集中趋势；如果样本每个数出现的次数都一样，那么就没有众数；如果样本有多个数出现的次数都最多，那么它们都是众数。方差，度量随机变量和其数学期望值之间的偏离程度。方差指数级别放大差距，例如，差值是10和1，那么差距只是9，但方差的差距99，因此如果有个别偏离大的值，方差会变得很大。数据统计中的方差是一种特殊的方差，是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数（即把样本平均数作为期望值的方差）。为了更深入理解期望值，下面举例说明。如下图，如果把y=x+5当作期望值，那么方差=(1+9+16+1)/4=6.75；如果把y=4当作期望值，那么方差=(64+0+0+100)/4=41。

【解答】（1）0.4

（2）样本容量用D组计算，15÷25%=60；a=60-(5+20+15+8)=12，

360°×12/60=72°；

（3）1200×(20+15+8)/60=860（人），

答：该校学生劳动超过1小时的是860人。

知识要点：垂直于弦的直径平分弦；经过切点与圆心的直线垂直于该切线，反过来，经过圆上一点与直径垂直的的直线与圆相切。初中需要掌握的有关圆的知识还有：等弧或弦对应（优劣相同）圆周角相等和圆心角相等；直径所对的圆周角是直角；圆切角与对应的圆周角相等；等弦到圆心的距离相等。思路分析：（1）两个圆心角对象的弧分别是弧AB和BC，由它们所对的圆周角的关系得证；（2）三点决定一个圆，因此圆的半径可求的。知道弦，求半径，自然地，比较好的方法是使用相交弦定理，为此过O作AB的垂线，交弦AB与D，交○O于E和F，如下图。设半径为r，那么(2r-DE)·DE=DB²，
DB已知，只要知道DE，r可求，为求DE，连接EB，那么Rt△DBE中，DB已知，那么只要知道EB就行，由（1）的结果可得。

（1）证明：∵ ∠CAB=½∠BOC， ∠ACB=½∠AOB，∠ACB=2∠CAB，
∴ ∠AOB=2∠BOC.
（2）【解答】过O作AB的垂线，交弦AB与D，交○O于E和F，如下图。设半径为r，那么(2r-DE)·DE=DB²，∵ ∠AOB=2∠BOC，∠EOB=½∠AOB，
∴ ∠EOB=∠BOC，
∵ 在△OEB和△OBC中，
OE=OB=OB=OC，∠EOB=∠BOC，∴ △OEB≌△OBC，∴ EB=BC，∵ DB=½AB=2，∴ DE²=EB²-DB²=5-4=1，∴ DE=1，∴ 2r - 1 = 4，∴ r=5/2.

（1）思路分析：如果Rt△BAE转90°，那么A点与C点重叠，那么F点是C点左的格点，由于是等腰三角形，那么角平分线过中点，那么过ED中点作平行线必然交于EF的中点，遗憾的是ED的中点不是格点。我们知道这中线也交以DE为边的正方形的对角线，那么往左平移一格的正方形的对角线一定交于EF的中点，问题得解。（1）作图如下
（2）思路分析：看下面作图，对称点容易得到，由条件，只要找到EP的⅓点就行，因此利用格点构造一个1:2的8字相似三角形就可以。
（2）作图如下

“探究发现”思路分析：通过数据发现规律的方法，一般使用两个因子（可以是单个变量，也可以是变量的代数式，相邻两个数据的差等）。自变量时间t是等差数列，水平距离也是个等差数列，经过原点，因此可设它的解析式是x=vt，然后用数据把v算出来：x=5t；对于高度，计算它们的单位邻差，对照表如下：
0     2     4     6     8-     22  18    14    10显然是个等差数列，设它的解析式是y=at+b（第一象限），

那阴影部分面积的代数式，就是我们要求的解析式：
y=(b+at+b)·t/2=½at²+bt，
代入数据，解得a=-1,b=12，所以高度的解析式是：
y=-½t²+12t.【“探究发现”解答】x=5t；y=-½t²+12t.“问题解决”思路分析：（1）用y=-½t²+12t=0算出时间，x=5t算出水平距离；（2）把安全线太高为发射口，着陆点高度是负值，使用两个函数关系进行推算。【“问题解决”解答】（1）解方程-½t²+12t=0的非0根t=24，那么x=5×24=120.答：飞机落到安全线时飞行的水平距离是120米。
（2）设发射台的高度是h米，为了简化结算，令接收区的高度是-h米，发射台高度是0米，套用（1）的方法
-½t²+12t=-h，①125<5t<130，②
由②得
25<t<26，代入①得高度范围
12.5<h<26.
答：发射台相对于安全线的高度范围是>12.5米和<26米。

“问题探究”思路分析：（1）如果E与C重合，那么∠GCF=45°；（2）由条件易得∠FEC=∠EAB，因此在AB上取1点N，AN=CE，算出∠ANE=∠ECF的值，从而求得∠GCF的值。
【“问题探究”解答】

“问题拓展”思路分析：由问题探究②，可以CF=NE，如果∠B=120°，那么EN可用BE表示；如果能够用菱形边长表示CF，那么BE/BC可求，即BE/CE可求。易得∠FCD=90°，因此考虑过A点作CD的垂线交CD的延长线于P点，Rt△ADP可解，从而得到CF的表达式。
【“问题拓展”解答】

（1）思路分析：A、B两点是y=0时方程的两个根；C是x=0时，函数值。

【（1）解答】解方程x²-2x-8=0，得两个根-2或4，即A点坐标(-2,0)，B点坐标(4,0)；x=0时，y=-8，∴ C点坐标(0,-8).

（2）思路分析：CF//AB或者∠FCB=90°.

【（2）解答】

（3）思路分析：算出GN和OM的解析式，然后求交点，通过交点坐标的x、y坐标关系，判定是否是在一条直线上（符合线性函数：y=ax+b）.

【（3）解答】