一、什么是周长
（1）绕图形边界一周的路程。
（2）由线段组成的图形，把这些线段的长度加起来就是周长。对于平行四边形、棱形、正多边形等特殊图形，可以简化计算：
二、圆的周长
1、问题转化
（1）可以认为圆是正多边形锐变而成，因此计算圆的周长就要从正多边形的周长出发。
（2）设边数是n，则周长=n×边长，要计算周长，必须要计算边长，也就是等腰三角形底的长。
（3）问题就转化为：已知等腰三角形的腰是圆的半径，顶角是周角的n分之一，求三角形的底边长。
（4）等腰三角形底边上的高把三角形分割为2个相等的直角三角形，问题就进一步转化为：已知斜边是半径，一锐角是周角的2n分之一的直角边的长。
2、正弦函数
（1）在直角三角形中，一锐角对边与斜边的比值只与这个锐角的大小有关，这种数量关系就是正弦函数，记作sin(角度值)。
（2）根据上面的描述可得正n边形的周长是：
2n×半径×sin(360/2n)
由于2×半径=直径，上式化为：
直径×[n×sin(180/n)]
3、圆周率
（1）用计算器计算n分别是1000、10000、100000、1000000、10000000、100000000时n×sin(180/n)的值，会发现它基本是一个不变的值，n变大，小数点更后的位置数字有所变化。
【下面是用Python计算的结果】
（2）当n成了无穷大（∞），这个数值就是圆周率（π）。
4、圆的周长公式：
圆的周长=圆周率×直径
C=πd
三、面积
（1）图形所占的区域是面积，图形的面积1单位长度乘1单位长度的正方形量度的。
（2）一般不规则图形是没有办法计算面积，用正方形格纸计算，不满格算0.5格，数格数而得到面积。下图中不规则图形的面积约是：39cm²
3+5.5+6.5+7+6.5+6+4.5=39（cm²）
四、几种特殊图形的面积
1、长方形的面积
（1）把长方形的长和宽都分为单位长度的段，然后画成方格，方格数就是长×宽。
（2）根据面积的定义可得长方形的面积公式：
长方形的面积=长×宽
S=ab
2、平行四边形的面积
（1）利用割补法把平行四边形转化为长方形，这长方形的长等于平行四边形的底，宽也等于平行四边形的高。
（2）公式：
平行四边形的面积=底×高
S=ah
3、三角形面积
（1）用拼接法把两个相同的三角形拼接成一个平行四边形，平行四边形的底是三角形的底，高是三角形的高。
（2）公式：
三角形面积=底×高÷2
S=½ah
4、梯形面积
（1）用拼接法把两个相同的梯形拼接成一个平行四边形，平行四边形的底是梯形的上底与下底之和，高是梯形的高。
（2）公式：
梯形面积=(上底+下底)×高÷2
S=½(a+b)h
5、圆的面积
（1）过圆心，把圆切割为相等的偶数份，分开两半后成了锯齿状，交叉拼接为类平行四边形。当切割份数是无穷大时，这个图形就成了长方形，长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
（2）公式：
圆的面积=（周长/2）×半径=圆周率×半径的平方
S=πr²
六割圆
十二割圆
二十四割圆
6、组合图形的面积
（1）由平行四边形、梯形和圆组合和挖缺的图形称作组合图形。
（2）求组合图形图形的面积思考路径：
第一选项、割补法；
第二选项、拆分为可以求和的各部分；
第三选项、整体减部分；
第四选项、综合上面三个选项。
五、如何记忆圆的周长和面积的公式
（1）如上图，圆的外切正方形的周长=4d；可以看到圆抄近路了，所以圆的周长小于4d，可以联想圆的周长=πd；
（2）外切正方形分开4个小正方形，每个小正方的面积都大于4分之1圆的面积，也就是说圆的面积小于4r²，可以联想圆的面积=πr²。
六、等面积定理
（1）一个平行四边形的一对边在两条平行线中，无论这两条边在平行线中如何滑动，高都是不变的，也就是说，这个平行四边形的面积不变。任一条与这两条平行线平行的线被这些平行四边形所截的线段必然都等于平行四边形的底。
（2）三角形的底固定在两平行线的一条上，顶在另一条线上移动，三角形的面积不变。任一条平行于这两条平行线的直线，被这些三角形所截的线段必然相等。
（3）等面积定理：底相等，与底平行的任意平行线被两个图形所截的线段恒相等（意思是即使两线段都变化了，但保持相等），两个图形的面积相等。
按上图描述：图ABCD的底AB和图EFGH的底EF在同一直线上并相等，任一平行于底的直线l被两个图形所截的线段m和n恒相等（意思是即使m和n都变化了，但保持相等），则图ABCD和图EFGH的面积相等。
七、练习题
1、计算下面零件的面积
2、计算河流出海口的面积
如果上图，河流出海口喇叭形，小端500m，大端1500m，距离是3000m；作一个上底500m、下底1500m和高3000m的梯形，使它和河流出海口夹在同两条平行线之间；任意作一条平行线，发现被梯形和河流出海口所截的线段A和B恒相等。求计算河流出海口的面积。
附录1：助记词
在边界，绕一周，行路程，称周长。
全加和，是原法，特图类，有公式。
曲线形，多无法，铺软线，直量之。
圆虽曲，但可算，直径乘，圆周率。
位无尽，不循环，常使用，三一四。
图区域，有大小，用正方，来量度。
正方形，是单位，长度前，加平方。
无规则，用方块，超边界，算一半。
长方形，长乘宽，其它形，化为方。
平四边，割补后，成长方，底乘高。
三角形，并两个，平四边，除以二。
而梯形，稍不同，底变成，上下和。
圆化方，切两边，上下齿，合长方。
长方底，是半周，长方高，是半径。
圆面积，周长与，半径积，除以二。
代周长，化公式，圆周率，半径方。
组合图，算周长，计面积，须分拆。
附录2：本章所用的Python程序
#【画图形】Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
#画平行四边形
t.penup()
t.setpos(-350,250)
t.pendown()
t.hideturtle()
t.forward(120)
t.right(120)
t.forward(90)
t.right(60)
t.forward(120)
t.right(120)
t.forward(90)
t.right(60)
#画棱形
t.penup()
t.setpos(-350,100)
t.pendown()
t.hideturtle()
t.forward(120)
t.right(120)
t.forward(120)
t.right(60)
t.forward(120)
t.right(120)
t.forward(120)
t.right(60)
#画正八形
t.penup()
t.setpos(-350,-50)
t.pendown()
t.hideturtle()
num=0
while num<8:
t.forward(80)
t.right(45)
num+=1
#【画方格】Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
t.penup()
t.setpos(-350,250)
t.pendown()
#画横
n=0
while n<12:
t.forward(200)
t.penup()
t.setpos(-350,250-20*n)
t.pendown()
n+=1
#画竖
t.penup()
t.setpos(-350,250)
t.pendown()
t.right(90)
n=0
while n<12:
t.forward(200)
t.penup()
t.setpos(-350+20*n,250)
t.pendown()
n+=1
#【长方形】Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
t.penup()
t.setpos(-350,250)
t.pendown()
#画横
n=0
while n<12:
t.forward(320)
t.penup()
t.setpos(-350,250-20*n)
t.pendown()
n+=1
#画竖
t.penup()
t.setpos(-350,250)
t.pendown()
t.right(90)
n=0
while n<18:
t.forward(200)
t.penup()
t.setpos(-350+20*n,250)
t.pendown()
n+=1
#【圆周率计算】Python源码
import math
num=0
n=10
while num<12:
print("正%d边形的周长=\t" % n, n*math.sin(math.radians(180/n)))
num+=1
n*=10
#【六割圆】 Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
p=(-300,250)
maxNum=6
num=0
t.penup()
while num<maxNum:
t.setpos(p) #from (0,0)
t.pendown()
t.circle(-60,360/maxNum)
p=t.position()
t.setpos(-300,190)
t.penup()
num+=1
p=(-150,260)
t.penup()
num=0
while num<3:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(30)
t.circle(-60,60)
p=t.position()
t.setheading(-120)
t.forward(60)
t.setheading(120)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(-150,120)
t.penup()
num=0
while num<3:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(-30)
t.circle(60,60)
p=t.position()
t.setheading(120)
t.forward(60)
t.setheading(-120)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(100,205)
t.penup()
num=0
while num<3:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(30)
t.circle(-60,60)
p=t.position()
t.setheading(-120)
t.forward(60)
t.setheading(120)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(130,155)
t.penup()
num=0
while num<3:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(-30)
t.circle(60,60)
p=t.position()
t.setheading(120)
t.forward(60)
t.setheading(-120)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
#【十二割圆】 Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
p=(-300,250)
maxNum=12
num=0
t.penup()
while num<maxNum:
t.setpos(p) #from (0,0)
t.pendown()
t.circle(-60,360/maxNum)
p=t.position()
t.setpos(-300,190)
t.penup()
num+=1
p=(-150,260)
t.penup()
num=0
while num<6:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(15)
t.circle(-60,30)
p=t.position()
t.setheading(-105)
t.forward(60)
t.setheading(105)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(-150,120)
t.penup()
num=0
while num<6:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(-15)
t.circle(60,30)
p=t.position()
t.setheading(105)
t.forward(60)
t.setheading(-105)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(100,210)
t.penup()
num=0
while num<6:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(15)
t.circle(-60,30)
p=t.position()
t.setheading(-105)
t.forward(60)
t.setheading(105)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(115,150)
t.penup()
num=0
while num<6:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(-15)
t.circle(60,30)
p=t.position()
t.setheading(105)
t.forward(60)
t.setheading(-105)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
#【二十四割圆】 Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
p=(-300,250)
maxNum=24
num=0
t.penup()
while num<maxNum:
t.setpos(p) #from (0,0)
t.pendown()
t.circle(-60,360/maxNum)
p=t.position()
t.setpos(-300,190)
t.penup()
num+=1
p=(-150,260)
t.penup()
num=0
while num<12:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(7.5)
t.circle(-60,15)
p=t.position()
t.setheading(-97.5)
t.forward(60)
t.setheading(97.5)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(-150,120)
t.penup()
num=0
while num<12:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(-7.5)
t.circle(60,15)
p=t.position()
t.setheading(97.5)
t.forward(60)
t.setheading(-97.5)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(100,210)
t.penup()
num=0
while num<12:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(7.5)
t.circle(-60,15)
p=t.position()
t.setheading(-97.5)
t.forward(60)
t.setheading(97.5)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
p=(107.5,150)
t.penup()
num=0
while num<12:
t.setpos(p)
t.pendown()
t.setheading(-7.5)
t.circle(60,15)
p=t.position()
t.setheading(97.5)
t.forward(60)
t.setheading(-97.5)
t.forward(60)
t.penup()
num+=1
# 【平行四边形等面积变化】Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,250)
t.pendown()
t.setpos(400,250)
t.penup()
t.setpos(-400,0)
t.pendown()
t.setpos(400,0)
t.penup()
t.setpos(-300,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(-150,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
t.penup()
t.setpos(0,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(150,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
t.penup()
t.setpos(250,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(400,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,200)
t.pendown()
t.setpos(400,200)
# 【三角形等面积变化】Python 源码
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,250)
t.pendown()
t.setpos(400,250)
t.penup()
t.setpos(-400,0)
t.pendown()
t.setpos(400,0)
t.penup()
t.setpos(-150,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(-150,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
t.penup()
t.setpos(150,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(150,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
t.penup()
t.setpos(400,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(400,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,150)
t.pendown()
t.setpos(400,150)
#【平行四边形等面积定理】 Python 源码
import math
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,250)
t.pendown()
t.setpos(400,250)
t.penup()
t.setpos(-400,0)
t.pendown()
t.setpos(400,0)
t.penup()
t.setpos(-300,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(-150,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
t.penup()
t.setpos(0,0)
t.pendown()
n=0
while n<181:
t.setpos(n,125*(math.sin(math.radians(n-90))+1))
n+=1
t.penup()
t.setpos(150,0)
t.pendown()
m=0
while m<181:
t.setpos(150+m,125*(math.sin(math.radians(m-90))+1))
m+=1
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,150)
t.pendown()
t.setpos(400,150)
#【梯形等面积定理】 Python 源码
import math
import turtle as t
t.setup(850,650)
t.screensize(800,600)
t.speed("fastest")
t.hideturtle()
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,250)
t.pendown()
t.setpos(400,250)
t.penup()
t.setpos(-400,0)
t.pendown()
t.setpos(400,0)
#画梯形
t.penup()
t.setpos(-300,250)
t.pendown()
t.setpos(-300,0)
t.penup()
t.setpos(-250,250)
t.pendown()
t.setpos(-150,0)
#画河流出海口
t.penup()
t.setpos(0,0)
t.pendown()
n=0
ps=[]
while n<181:
p=(n,125*(math.sin(math.radians(n-90))+1))
t.setpos(p)
ps.append(p)
n+=1
t.penup()
t.setpos(ps[0][0]+150,0)
t.pendown()
m=0
while m<181:
t.setpos(ps[m][0]+150-100/180*m,ps[m][1])
m+=1
#画平行线
t.penup()
t.setpos(-400,150)
t.pendown()
t.setpos(400,150)